河南省郑州市2020-2021学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-12-11 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | 1 \leq x + 1 < 5}$ ， $B = {x | x \leq 2}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 ${x | 0 \leq x < 4}$ B、 ${x | 0 \leq x \leq 2}$ C、 ${x | 2 < x < 4}$ D、 ${x | x < 4}$

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2. 下列各组函数中表示同一函数的是（）

A、 $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x}{x}$ ， $g (x) = x + 2$ B、 $f (x) = x^{2} - 3 x$ ， $g (t) = t^{2} - 3 t$ C、 $f (x) = {(\sqrt{x})}^{2}$ ， $g (x) = x$ D、 $f (x) = \frac{x^{2} - 4}{x - 2}$ ， $g (x) = x + 2$

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3. 已知函数 $f (x + 2) = 2^{x} + x - 2$ ，则 $f (x) =$ （）

A、 $2^{x - 2} + x - 4$ B、 $2^{x - 2} + x - 2$ C、 $2^{x + 2} + x$ D、 $2^{x + 2} + x - 2$

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4. 函数 $f (x) = \ln x + 2^{x} - 3$ 的零点所在的区间是（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(2, 3)$ C、 $(1, 2)$ D、 $(3, 4)$

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5. 已知 $a = \log_{2} 3$ ， $b = \log_{2} 5$ ，则 $\log_{4} 15 =$ （）

A、 $2 a + 2 b$ B、a+b C、 $a b$ D、 $\frac{1}{2} a + \frac{1}{2} b$

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6. 函数 $y = a^{x} - \frac{1}{a}$ 的大致图象不可能是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 若 ${1$ ， $2} \subseteq M \subseteq {0$ ，1，2，3， $4}$ ，则满足条件的集合 $M$ 的个数为（）

A、7 B、8 C、31 D、32

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8. 若 $a = 2^{- \frac{1}{2}}$ ， $b = \ln 3$ ， $c = \log_{2} 3$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b < a < c$ D、 $c < a < b$

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9. 已知函数 $f (x) = \frac{3 x - 1}{1 - x}$ ，其定义域是 $[- 4$ ， $- 2)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 有最大值 $- \frac{7}{3}$ ，最小值 $- \frac{13}{5}$ B、 $f (x)$ 有最大值 $- \frac{7}{3}$ ，无最小值 C、 $f (x)$ 有最大值 $- \frac{13}{5}$ ，最小值 $- \frac{7}{3}$ D、 $f (x)$ 有最小值 $- \frac{13}{5}$ ，无最大值

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10. 已知函数 $f (x) = a x^{3} - b x + 1$ ，若 $f (2) = 5$ ，则 $f (- 2) =$ （）

A、-5 B、-3 C、3 D、5

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11. 已知函数 $f (x) = \log_{5} (- \frac{1}{2} x^{2} + m x + 8)$ 在 $[- 2$ ， $2]$ 上单调递增，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[2$ ， $+ \infty)$ B、 $(- 3, 3)$ C、 $(- 3$ ， $2]$ D、 $[2$ ， $3)$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{| x |} - 3 ， x > - 2 \\ x + 5 ， x ⩽ - 2 \end{array}$ ，则 $y = f (f (x)) + 1$ 的零点个数为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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二、填空题

13. 函数 $f (x) = \sqrt{2 - x} + \ln (x + 1)$ 的定义域是．

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14. 已知集合 $A = {x | x^{2} + a x + b = 0}$ ， $B = {x | 3 x^{2} + (a + 2) x - b = 0}$ ，若 $A \cap B = {- 2}$ ，则 $A \cup B =$ ．

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15. 不等式 $9^{x} - 2 > \log_{\frac{1}{2}} x$ 的解集是．

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16. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且在 $[0$ ， $+ \infty)$ 上单调递减．若 $f (\log_{a} 4) ⩽ f (2)$ $(a > 0$ 且 $a \neq 1)$ ，则 $a$ 的取值范围为．

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三、解答题

17. 已知集合 $A = {x | - 3 < x + 1 ⩽ 4}$ ， $B = {x | 2 m - 1 ⩽ x < m + 3}$ ．

(1)、当 $m = 1$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、若 $A \cup B = A$ ，求 $m$ 的取值范围．

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18. 某市出租车收费标准：路程不超过2千米，收费为8元；路程超过2千米但不超过8千米的部分，每千米车费为2.1元；路程超过8千米的部分，每千米车费为3.1元．设某乘客在该市乘坐出租车的车费为 $y$ 元．

(1)、求车费 $y$ 关于路程 $x$ 的函数关系式；

(2)、若该乘客所付车费为23.7元，求出租车行驶的路程．

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19. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} + 2 m - 2) x^{m + 2}$ ，且在 $(0 ， + \infty)$ 上是减函数．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 ${(3 - a)}^{m} > {(a - 1)}^{m}$ ，求 $a$ 的取值范围．

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20. 已知函数 $f (x) = \log_{a} (x + 6) - \log_{a} (6 - x) (a > 0$ ，且 $a \neq 1)$ ．

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、求关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq \log_{a} 2$ 的解集．

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21. 已知二次函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) = f (x) - 2 x + 1$ ，且 $f$ （1） $= 2$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设 $g (x) = f (x) - 2 m x$ ，求 $g (x)$ 在 $[- 1$ ， $3]$ 上的最值．

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22. 已知函数 $f (x) = 2^{x} + m \times 2^{- x} + 2 m$ 是 $R$ 上的偶函数， $g (x) = a - | x - 2 m |$ ．

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、若存在 $x_{1}$ ， $x_{2} \in [1$ ， $4]$ ，使得 $f (x_{1}) ⩽ g (x_{2})$ 成立，求 $a$ 的取值范围．

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