河南省洛阳市汝阳县2020-2021学年高一上学期数学联考试卷

试卷更新日期：2020-12-11 类型：期中考试

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一、单选题

1. 计算： $625^{\frac{1}{4}} =$ （）.

A、5 B、25 C、±5 D、±25

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2. 函数 $y = (2 m - 1) x + b$ 在 $R$ 上是减函数．则（　　）

A、 $m > \frac{1}{2}$ B、 $m < \frac{1}{2}$ C、 $m > - \frac{1}{2}$ D、 $m < - \frac{1}{2}$

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3. 已知集合 $A = {1, 2, 3, 4, 5}$ ，且 $A \cap B = A$ ，则集合 $B$ 可以是（）.

A、 ${x {| 2}^{x} > 1}$ B、 ${x | x^{2} > 1}$ C、 ${x | x > 5}$ D、 ${1, 2, 3}$

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4. 下列四组函数中， $f (x)$ 与 $g (x)$ 表示同一函数是（）

A、 $f (x) = x - 1$ ， $g (x) = \frac{x^{2} - 1}{x + 1}$ B、 $f (x) = | x + 1 |$ ， $g (x) = {\begin{array}{l} x + 1, x \geq - 1 \\ - x - 1, x < - 1 \end{array}$ C、 $f (x) = 1$ ， $g (x) = {(x + 1)}^{0}$ D、 $f (x) = \sqrt[3]{x^{3}}$ ， $g (x) = {(\sqrt{x})}^{2}$

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5. 已知 $f (x) = x^{2} + x$ ，则 $f (x - 1)$ 等于（）

A、 $x^{2} - x + 1$ B、 $x^{2} - x$ C、 $x^{2} - 2 x - 1$ D、 $x^{2} - 2 x$

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6. 函数 $f (x) = \sqrt{3^{2 x - 1} - \frac{1}{27}}$ 的定义域是（）.

A、 $(- 2, + \infty)$ B、 $[- 1, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 1)$ D、 $(- \infty, - 2)$

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7. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - 2 a x - 3 (a > 0)$ ，则下列选项错误的是（）.

A、 $f (- 3) > f (3)$ B、 $f (- 2) < f (3)$ C、 $f (4) = f (- 2)$ D、 $f (4) > f (3)$

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8. 设函数 $f (x) = \sqrt{x}$ ，则函数 $f (x - 1) - f^{2} (x)$ 的最大值为（）.

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{3}{4}$ D、-1

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9. 已知函数 $y = f (x)$ 的定义域是 $R$ ，值域为 $[- 1, 2]$ ，则值域也为 $[- 1, 2]$ 的函数是（）

A、 $y = 2 f (x) + 1$ B、 $y = f (2 x + 1)$ C、 $y = - f (x)$ D、 $y = | f (x) |$

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10. 已知 $1 < b < a$ ，则下列大小关系不正确的是（）.

A、 $a^{b} < a^{a}$ B、 $b^{a} > b^{b}$ C、 $a^{b} > b^{b}$ D、 $a^{b} > b^{a}$

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11. 设函数 $f (x) = \frac{x^{2} - 2 x + 5}{x - 1}$ 在区间 $[2 ， 9]$ 上的最大值和最小值分别为 $M$ ､ $m$ ，则 $m + M =$ （）.

A、 $\frac{27}{2}$ B、13 C、 $\frac{25}{2}$ D、12

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12. 已知函数 $f (x) (x \in R)$ 满足 $f (- x) = 4 - f (x)$ ，若函数 $y = \frac{2 x + 1}{x}$ 与 $y = f (x)$ 图象的交点为 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), \dots, (x_{m}, y_{m})$ ，则 $(x_{1} + y_{1}) + (x_{2} + y_{2}) + \dots + (x_{m} + y_{m}) =$ （）

A、0 B、 $m$ C、 $2 m$ D、 $4 m$

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x) = a - \frac{2}{e^{x} + 1} (a \in R)$ 是奇函数，则 $a =$ .

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14. 满足方程 $4^{x} + 2^{x} - 2 = 0$ 的 $x$ 值为．

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15. 已知 $A = {x | x^{2} + p x + 1 = 0, x \in R}$ ，若 $A \cap R^{+} = \emptyset$ ，则实数 $p$ 的取值集合是.

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16. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - {(\frac{1}{2})}^{x} + a, a \leq x < 0 \\ - x^{2} + 2 x - 3, 0 \leq x \leq 4 \end{array}$ 的值域为 $[- 11, - 2]$ ，则实数 $a$ 的取值范围是.

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

(1)、求证： $f (x) + f (\frac{1}{x})$ 是定值；

(2)、求 $f (2) + f (\frac{1}{2}) + f (3) + f (\frac{1}{3}) + \cdot \cdot \cdot + f (2020) + f (\frac{1}{2020})$ 的值.

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18. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | x^{2} - 5 x < 0}, B = {x | m + 1 \leq x \leq 3 m - 1}$ .

(1)、当 $m = 2$ 时，求 $∁_{U} (A \cap B)$ ；

(2)、如果 $A \cup B = A$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{\sqrt{3 - a x}}{a - 1} (a \neq 1)$ .

(1)、若 $a > 0$ ，求 $f (x)$ 的定义域；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(0, 1]$ 上是减函数，求实数 $a$ 的取值范围.

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20. 定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ ，满足 $f (m n) = f (m) + f (n) (m, n > 0)$ ，且当 $x > 1$ 时， $f (x) > 0$ .

(1)、求证： $f (\frac{m}{n}) = f (m) - f (n)$ ；

(2)、求证： $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上是增函数；

(3)、若 $f (2) = 1$ ，解不等式 $f (x + 2) - f (2 x) > 2$ .

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21. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 tx + t^{2} - 6 t + 1 (x \in [- \frac{1}{2} ， 1])$ ，其最小值为 $g (t)$ ．

(1)、求 $g (t)$ 的表达式；

(2)、当 $t > 1$ 时，是否存在 $k \in R$ ，使关于t的不等式 $g (t) < kt$ 有且仅有一个正整数解，若存在，求实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} m (x + \frac{1}{x}) - 2, x > 0 \\ 2 (x + \frac{1}{x}) + n, x < 0 \end{array}$ 是奇函数.

(1)、求实数 $m$ ， $n$ 的值；

(2)、若对任意实数 $x$ ，都有 $f (4^{x}) + λ f (2^{x}) \geq 0$ 成立.求实数 $λ$ 的取值范围.

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