河南省洛阳市2020-2021学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-12-11 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设集合A={a,4}，B={1，2，3}，A $\cap$ B={2}则 $A \cup B$ =（）

A、{2,3,4} B、{3} C、{1,2,3,4} D、{2,4}

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2. 函数 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$ + $\log_{2} x$ 的定义域是（）

A、(0，+ $\infty$ ). B、[-1,+ $\infty)$ C、(-1,0) $\cup$ (0,+ $\infty$ ) D、(-1,+ $\infty$ )

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3. 下列函数中， $f (x)$ 与 $g (x)$ 是相等函数的为（）

A、 $f (x) = x, g (x) = | x |$ . B、 $f (x) = x, g (x) = \sqrt[3]{x^{3}}$ . C、 $f (x) = {(\sqrt{x})}^{2}, g (x) = \sqrt[3]{x^{3}}$ . D、 $f (x) = x, g (x) = a^{\log_{a} x}$ .

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4. 下列函数中，既是奇函数又在 $(0, + \infty)$ 上单调递增的是（）

A、 $f (x) = 2^{| x |}$ B、 $f (x) = \frac{1}{x^{3}}$ C、 $f (x) = \ln (\sqrt{1 + x^{2}} - x)$ D、 $f (x) = e^{x} - e^{- x}$

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5. 若 $x$ >1， $a = x^{3}, b = {(\frac{1}{2})}^{x}, c = \log_{\frac{1}{2}} x$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、a<b<c B、c<a<b C、c<b<a D、a<c<b

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6. 定义在R上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x y) = f (x) + f (y)$ ，且 $f (4) = 8$ ，则 $f (\sqrt{2})$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、4 D、6

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7. 已知函数 $f (x) = x^{2} + 2 | x | - 3$ ，则 $f (x)$ 的值域为（）

A、 $[- 4, + \infty)$ B、 $[- 3, + \infty)$ C、 $[0, + \infty)$ D、 $[0, 4]$

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8. 已知函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且 $f (x) - g (x) = e^{x} ，$ 则 $f (1) =$ （）

A、 $e$ B、 $\frac{e}{2} - \frac{1}{2 e}$ C、 $e - \frac{1}{e}$ D、 $- \frac{e}{2} - \frac{1}{2 e}$

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9. 函数 $f (x) = x^{a} ， g (x) = \log_{a} x (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 在同一直角坐标系中的部分图像可能是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 函数 $f (x) = \log_{2} x + x + 1$ 的零点所在的区间是（）.

A、(0， $\frac{1}{4}$ ) B、( $\frac{1}{5} ， \frac{1}{3})$ C、( $\frac{1}{3} ， \frac{1}{2}$ ) D、( $\frac{1}{2} ， 1$ )

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11. 已知 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，满足 $f (x) = - f (x + 1)$ ，当 $0 \leq x \leq \frac{1}{2}$ 时， $f (x) = \sqrt{x}$ ，则下列结论错误的是（）

A、方程 $f (x) - x + a$ =0最多有四个解 B、函数 $f (x)$ 的值域为[ $- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}$ ] C、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{1}{2}$ 对称 D、f(2020)=0

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} x + 1 ， x \leq 0 \\ \lg x ， x > 0 \end{matrix}$ 若存在互不相等的实数a，b，c，d满足| $f (a) |$ =| $f (b) | = | f (c) | = | f (d) |$ ，则 $a + b + c + d$ 的取值范围为（）

A、(0，+ $\infty$ ) B、(-2，+ $\infty)$ C、 $(2 ， \frac{81}{10})$ D、 $(0 ， \frac{81}{10}]$

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二、填空题

13. 函数 $y = \log_{a} (2^{x} - 1) + 2 (a > 0, a \neq 1)$ 的图像恒过定点的坐标为.

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14. 若 $f (2 x - 1) = x^{2} + 3^{x}$ ，则 $f (3) =$ .

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15. 若 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x} - 2 x + m$ ( $m$ 为常数)，则当 $x < 0$ 时， $f (x) =$ .

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16. 有以下结论：
①将函数 $y = e^{| x |}$ 的图象向右平移1个单位得到 $y = e^{| x | - 1}$ 的图象；

②函数 $f (x) = e^{x}$ 与 $g (x) = l n x$ 的图象关于直线y=x对称

③对于函数 $f (x) = a^{x}$ ( $a$ >0，且 $a \neq 1$ )，一定有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$

④函数 $f (x) = \log_{2} (x^{2} - x + 2)$ 的图象恒在 $x$ 轴上方.

其中正确结论的序号为.

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三、解答题

17. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | \frac{1}{2} < 2^{x} \leq 8}, B = {x | x < m - 2$ 或 $x > m + 2}$

(1)、若A $\cap ∁_{R} B = {x | 0 \leq x \leq 3}$ ，求实数m的值；

(2)、若A $\cup$ B=B，求实数m的取值范围.

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18. 求下列各式的植：

(1)、 $8^{0.25} \times \sqrt[4]{2} + \sqrt{{(- \frac{2}{3})}^{\frac{2}{3}}} \times {(\frac{4}{9})}^{\frac{1}{3}} + 2 \times 3^{- 1}$ ；

(2)、 $\sqrt{{(\lg 2)}^{2} + \lg \frac{1}{16} + 4} - \lg \sqrt{2} - \log_{100} 125$ .

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19. 已知函数 $f (x) = a - \frac{2}{e^{x} + 1}$ 为奇函数，

(1)、求实数a的值；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的单调性，并用函数单调性的定义证明；

(3)、解不等式 $f (l n x)$ >0.

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20. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 (a - 1) x + a^{2} - 2$ .

(1)、若 $f (x)$ 存在一正，一负两个零点，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(- \infty ， 2]$ 上是减函数，求 $f (x)$ 在[1，a]上的最大值.

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21. 某工厂可以生产甲､乙两类产品，设甲､乙两种产品的年利润分别为 $y_{1}$ ､ $y_{2}$ 百万元，根据调查研究发现，年利润与前期投人资金 $x$ 百万元的关系分别为 $y_{1} = m \sqrt{x + 4} + a, y_{2} = b x$ (其中 $m ， a ， b$ 都为常数)，函数 $y_{1}$ ､ $y_{2}$ 的图象分别是 $C_{1}$ ､ $C_{2}$ ，如图所示，曲线 $C_{1}$ ､ $C_{2}$ 均过点(5,1).

(1)、求函数 $y_{1}$ ､ $y_{2}$ 的解析式；

(2)、若该工厂用于投资生产甲､乙产品共有5百万元资金，问：如何分配资金能使一年的总利润最大，最大总利润是多少万元？

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22. 因函数 $y = x + \frac{t}{x}$ (t>0)的图象形状象对勾，我们称形如“ $y = x + \frac{t}{x}$ (t>0)”的函数为“对勾函数”该函数具有性质：在(0, $\sqrt{t}$ ]上是减函数，在( $\sqrt{t}$ ,+ $\infty$ )上是增函数.

(1)、已知 $f (x) = 2 x + \frac{4}{2 x - 1} - 5, x \in [1, 3] ，$ 利用上述性质，求函数 $f (x)$ 的单调区间和值域；

(2)、对于（1）中的函数 $f (x)$ 和函数 $g (x) = x^{2} - m x + 4$ ，若对任意 $x_{1} \in$ [1,3]，总存在 $x_{2} \in$ [1,3]，使得 $g (x_{2}) < f (x_{1})$ 成立，求实数m的取值范围.

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