河南省焦作市2020-2021学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-12-11 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若集合 $A = {x | - 1 < x < 4}$ ， $B = {- 1$ ，0，1，2，3， $4}$ ，则 $A \cap B$ 的元素个数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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2. 函数 $y = \frac{\sqrt{3 - x}}{l n (x - 2)}$ 的定义域是（）

A、 $(- \infty, 3)$ B、 $(2$ ， $3]$ C、 $(2, 3)$ D、 $(2, + \infty)$

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3. 下列各组函数中，表示同一函数的是（）

A、 $y = 1$ 和 $y = \frac{x}{x}$ B、 $y = x$ 和 $y = l g 10^{x}$ C、 $y = l n x^{2}$ 和 $y = 2 l n x$ D、 $y = | x |$ 和 $y = {(\sqrt{x})}^{2}$

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4. 已知集合 $M = {x | x ⩽ 0$ 或 $x ⩾ 2}$ ， $N = {x | m < x < n}$ ，若 $M \cap N = \emptyset$ ， $M \cup N = R$ ，则 $m + n =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 若 $l n a = \log_{\frac{1}{3}} b = 2^{c} < 1$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > a > c$ D、 $c > a > b$

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6. 已知函数 $f (x)$ 是奇函数，函数 $g (x) = f (x) - 2$ ，则 $g (2020) + g (- 2020) =$ （）

A、2 B、0 C、-2 D、-4

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7. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} l o g_{\frac{1}{2}} x, 0 < x < 2 \\ (2 a - 1) x + 3 a, x ⩾ 2 \end{array}$ 的值域为 $R$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{1}{2}$ ， $1)$ B、 $(0, \frac{1}{7})$ C、 $[\frac{1}{7}$ ， $\frac{1}{2})$ D、 $[\frac{1}{2}$ ， $1]$

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8. 函数 $f (x) = \lg x - \frac{1}{x}$ 的零点所在的区间是（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(3, 10)$

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9. 函数 $f (x) = \frac{{(- x)}^{2}}{| 2^{x} - 1 |}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 已知函数 $f (x)$ 对任意实数 $x$ 都有 $f (- x) + f (x) = 0$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x (x - 1)$ ，则不等式 $f (l n x) > 0$ 的解集为（）

A、 $(\frac{1}{e}$ ， $1)$ B、 $(e ， + \infty)$ C、 $(\frac{1}{e}$ ， $e)$ D、 $(\frac{1}{e}$ ， $1) \cup (e$ ， $+ \infty)$

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11. 对于函数 $f (x) = \lg (| x - 1 | + 1)$ ，下列判断错误的是（）

A、 $f (x + 1)$ 是偶函数 B、 $f (x)$ 在 $(- \infty ， 1)$ 上单调递减，在 $(1 ， + \infty)$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 有两个零点 D、 $f (x)$ 的值域为 $[0$ ， $+ \infty)$

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12. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足条件 $f (x - 2) = f (x)$ ，且函数 $y = f (x + 1)$ 为偶函数，当 $x \in [0$ ， $1]$ 时， $f (x) = 2^{x} - 1$ ，则方程 $f (x) - \frac{1}{2} = 0$ 在 $[- 1$ ， $3]$ 上的实根之和为（）

A、4 B、3 C、 $2 + \log_{2} 3$ D、 $3 - \log_{2} 3$

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二、填空题

13. 已知幂函数 $y = f (x)$ 的图象过点 $(\frac{1}{2}$ ， $4)$ ，则 $f$ （3）=.

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14. 设集合 $A = {y | y = 2^{x}$ ， $x \in R}$ ， $B = {x | - 1 < x < 1}$ ，则 $A \cap B =$ .

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15. 已知偶函数 $f (x)$ 在 $[0$ ， $+ \infty)$ 上单调递减，且 $f$ （2） $= 0$ ，则不等式 $x \cdot f (x) > 0$ 的解集为.

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{2}{x}, x \geq 2 \\ {(x - 1)}^{3}, x < 2 \end{array}$ ，若关于 $x$ 的方程 $f (x) = k$ 有两个不同的实根，则数 $k$ 的取值范围是.

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三、解答题

17.

(1)、已知 $x > 0$ ，化简： $\frac{\sqrt{x^{2} \sqrt{x}}}{x^{0.25}}$ ；

(2)、求值： $\log_{9} 3 - 2^{1 - l o g_{2} 3} + {(\frac{8}{27})}^{\frac{1}{3}} - {(\sqrt{3} + 1)}^{0}$ .

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18. 已知集合 $A = {x | | x - 1 | < 2}$ ， $B = {x | 1 - m < x < 2 m + 2}$ .

(1)、当 $m = 1$ 时，求 $∁_{R} (A \cup B)$ ；

(2)、若 $B \subseteq (A \cap B)$ ，求 $m$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + 2 a x + 1 - b$ ， $f (x)$ 在区间 $[0$ ， $1]$ 上的最大值为2，最小值为 $- 1$ .

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、若 $a \neq b$ ，函数 $g (x) = f (x) - m x$ 在区间 $(- 1, 1)$ 上没有最值，求实数 $m$ 的取值范围.

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20. 已知 $a > 1$ ，函数 $f (x) = \log_{a} (3 - x) + \log_{a} (1 + x)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的定义域；

(2)、求函数 $f (x)$ 的零点；

(3)、若函数 $f (x)$ 的最大值为2，求 $a$ 的值.

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21. “双十一”期间，某电商准备将一款商品进行打折销售，根据以往的销售经验，当售价不高于20元时，每天能卖出200件；当售价高于20元时，每提高1元，每天的销量减少3件.若每天的固定支出为600元，用 $x$ （单位：元， $0 < x ⩽ 60$ 且 $x \in N *)$ 表示该商品的售价， $y$ （单位：元）表示一天的净收入（除去每天固定支出后的收入）.

(1)、把 $y$ 表示成 $x$ 的函数；

(2)、该商品售价为多少元时，一天的净收入最高？并求出净收入最高是多少.

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22. 已知 $a > 0$ ，函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{a} + \frac{a}{e^{x}} - 1$ .

(1)、若 $f (x)$ 在 $[0$ ， $+ \infty)$ 上单调递增，求 $a$ 的最大值；

(2)、当 $a$ 取（1）中的最大值时，若存在 $x ⩾ 0$ ，使得不等式 $m f (x) ⩽ e^{- x} - m$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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