河南省2020-2021学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-12-11 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合A＝{x||x|≤3，x∈Z}，B＝{x|－1<x<5}，则A∩B中元素的个数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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2. 下列函数中，为偶函数的是（）

A、 $y = - \frac{1}{x}$ B、y＝2^x C、y＝x²－2x＋1 D、y＝|x|

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3. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \sqrt{x} - 4, x > 0 \\ x^{2}, x \leq 0 \end{array}$ ，则f(f(4))＝（）

A、－2 B、0 C、4 D、16

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4. 函数f(x)＝ $\sqrt{\frac{1}{2} - {log}_{2} x}$ 的定义域为（）

A、 ${x | 0 < x ⩽ \sqrt{2}}$ B、 ${x | 1 < x ⩽ \sqrt{2}}$ C、 ${x | 0 < x ⩽ 2}$ D、 ${x | 1 < x ⩽ 4}$

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5. 函数f(x)＝ $\frac{2^{x} + 2^{- x}}{x}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 函数f(x)＝lgx－ $\frac{1}{x}$ (x∈(1，10))的值域为（）

A、(0，1) B、(－1，1) C、(－1， $\frac{9}{10}$ ) D、(0， $\frac{9}{10}$ )

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7. 已知 $f (x)$ 是定义在 $(- 2, 2)$ 上的奇函数且单调递增， $f (a - 4) + f (2 a - 5) < 0$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(2, 3)$ B、 $(3, \frac{7}{2})$ C、 $(1, 4)$ D、 $(4, 6)$

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8. 设 $a = 202 0^{\frac{1}{2019}} ， b = {log}_{2019} \sqrt{2020} ， c = {log}_{2020} \sqrt{2019}$ ，则（）

A、c>b>a B、c>a>b C、b>a>c D、a>b>c

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9. 已知幂函数f(x)＝ $x^{3 + 2 k - k^{2}}$ (k∈N^*)，则使得f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增的k的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、无数个

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10. 已知函数f(x)＝ ${\begin{array}{l} - x^{2} + 1 ， x < 1 \\ x^{2} - 4 x + 3 ， x \geq 1 \end{array}$ ，在(0，a－5)上单调递减，则实数a的取值范围是（）

A、[6，8] B、[6，7] C、(5，8] D、(5，7]

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11. 已知函数f(x)＝|log₂(x－1)|，若x₁≠x₂ ， f(x₁)＝f(x₂)，则 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、 $\frac{5}{2}$

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12. 若3^a－3^b>2^b－2^a ，则下列不等式正确的是（）
①ln(a－b＋1)>0；②ln(b－a＋1)>0；③e^a^－b－1>0；④e^b^－a－1>0

A、①③ B、①④ C、②③ D、②④

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二、填空题

13. 已知幂函数y＝x^α的图象过点(4， $\sqrt{2}$ )，则α＝.

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14. 已知log₂a＝log₄3＋log₁₆9，则a＝.

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15. 函数f(x)＝ ${log}_{\frac{1}{3}} (- 3 x^{2} + x + \frac{5}{4})$ $(0 \leq x \leq \frac{1}{2})$ 的最大值为.

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16. 某汽车厂商生产销售一款电动汽车，每辆车的成本为4万元，销售价格为6万元，平均每月销量为800辆，今年该厂商对这款汽车进行升级换代，成本维持不变，但为了提高利润，准备提高销售价格，经过市场分析后发现，如果每辆车价格上涨0.1万元，月销量就会减少20辆，为了获取最大利润，每辆车的销售价格应定为万元.

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三、解答题

17. 化简求值：

(1)、 ${(\sqrt[4]{2} \times \sqrt[2]{3})}^{4} + {(- π)}^{0} - 2 \times {(\frac{4}{49})}^{- \frac{1}{2}}$ ；

(2)、log₆(log₂64)＋ $lg \sqrt{0.1} + {log}_{\frac{1}{2}} \frac{6}{5} + {log}_{4} \frac{144}{25}$ .

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18. 已知集合A＝{y|y＝e^x ， x>0}，B＝{x|y＝ $\sqrt{x - 1} + \frac{1}{\sqrt{2 - x}}$ }.

(1)、求A∩( $∁_{R}$ B)；

(2)、设集合M＝{x|a<x≤3－a}，若M $\subseteq$ B，求实数a的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = e^{x} - \frac{1}{e^{x}}$ .

(1)、判断 $f (x)$ 的单调性并用定义证明；

(2)、若对任意的 $x \in R, f (x + m) - e^{m} f (x) < 0$ 恒成立，求实数m的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = \ln (1 + x) + k \ln (1 - x)$ ， $k \neq 0$ .

(1)、当 $f (x)$ 分别为奇函数和偶函数时，求 $k$ 的值；

(2)、若 $f (x)$ 为奇函数，证明：对任意的 $m$ 、 $n \in (- 1, 1)$ ， $f (m) + f (n) = f (\frac{m + n}{1 + m n})$ .

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21. 锂电池的容量通常以A·h(安培小时)为单位，在一定条件下，当以恒定电流充电时把电池充满所需要的充电时间t(单位：h)等于电池的容量与充电电流x(单位：A)之比.电池充电时会产生额外的能量损失(不影响电池充入的电量).已知某种锂电池的容量为20A·h，且充电时每小时的能量损失P(能量单位)与充电电流x的关系式为P＝ $\frac{x^{2}}{600} + \frac{x}{300} + \frac{1}{2}$ $(0 < x \leq 20)$ .设这种锂电池的电量从0到充满电的能量损失总量为Q.

(1)、若 $P < \frac{7}{10}$ ，求充电电流x的取值范围；

(2)、充电电流为多大时，Q的值最小?最小值为多少?
参考结论：函数y＝ax＋ $\frac{b}{x}$ (a，b>0)在区间(0， $\sqrt{\frac{b}{a}}$ )上单调递减，在区间( $\sqrt{\frac{b}{a}}$ ，＋∞)上单调递增.

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22. 设 $a > 1$ ，已知函数 $f (x) = \log_{2} \frac{x}{a^{2}} \cdot \log_{4} (a^{2} x^{2})$ ， $f (1) = - 2$ .

(1)、求a的值；

(2)、求函数f(x)的最小值；

(3)、若方程f(x)－m＝0在区间(1，4)上有两个不相等的实根，求实数m的取值范围.

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