山东省烟台市2021年高三上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-12-11 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 2 ， - 1, 0, 1, 2} ， B = {x | - 1 < x \leq 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ B、 ${1 ， 2}$ C、 ${0 ， 1 ， 2}$ D、 ${0 ， 1}$

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2. 若非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，则“ $θ \in (0, \frac{π}{2})$ ”是“ $| \vec{a} + \vec{b} | > | \vec{a} - \vec{b} |$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 若 $\cos (α + \frac{π}{4}) = \frac{3}{4}$ ，则 $\sin 2 α =$ （）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $- \frac{1}{8}$ C、 $\frac{3}{8}$ D、 $- \frac{3}{8}$

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4. 设 $a = 2^{0.2} ， b = {(\frac{1}{2})}^{- 0.3} ， c = \log_{0.2} 0.3$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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5. 若M为 $Δ A B C$ 的边AB上一点，且 $\vec{A B} = 3 \vec{A M}$ 则 $\vec{C B} =$ （）

A、 $3 \vec{C M} - 2 \vec{C A}$ B、 $3 \vec{C A} - 2 \vec{C M}$ C、 $3 \vec{C M} + 2 \vec{C A}$ D、 $3 \vec{C A} + 2 \vec{C M}$

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6. 函数 $f (x) = \frac{2 | x |}{\ln | x |}$ 在其定义域上的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为 $T_{0}$ ，则经过一定时间 $t$ 后的温度T将满足 $T - T_{a} = {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{h}} (T_{0} - T_{a})$ ，其中 $T_{a}$ 是环境温度，h称为半衰期.现有一杯85℃的热茶，放置在25℃的房间中，如果热茶降温到55℃，需要10分钟，则欲降温到45℃，大约需要多少分钟？（）（1g2≈0.3010，1g3≈0.4771）

A、12 B、14 C、16 D、18

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \sqrt{x - 1}, 1 < x \leq 3 \\ \ln \frac{x}{3}, 3 < x \leq 9 \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - a x$ 有两个不同的零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{\sqrt{2}}{3}, \frac{1}{2})$ B、 $[\frac{\ln 3}{9}, \frac{1}{3 e}] \cup {\frac{1}{2}}$ C、 $[\frac{1}{3 e}, \frac{\ln 3}{9}) \cup [\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{3})$ D、 $(0, \frac{\ln 3}{9}) \cup {\frac{1}{3 e}} \cup [\frac{\sqrt{2}}{3}, \frac{1}{2})$

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二、多选题

9. 若 $a > b > 0$ ，则（）

A、 $\frac{1}{a - b} > \frac{1}{a}$ B、 $2^{a} > 2^{b - 1}$ C、 $a^{2} + b^{2} < 2 (a + b - 1)$ D、 $\sqrt{a - b} > \sqrt{a} - \sqrt{b}$

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10. 已知 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，且满足 $f (4 - x) = f (x)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x + 8) = f (x)$ B、 $f (x)$ 在区间 $(- 2, 2)$ 上单调递增 C、 $f (2019) + f (2020) + f (2021) = 0$ D、 $f (x) = \cos (\frac{π}{4} x + \frac{π}{2})$ 是满足条件的一个函数

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11. 函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ ，（ $A ， ω ， φ$ 是常数， $A > 0$ ）的部分图象如图所示，则（）

A、 $f (x) = \sqrt{2} \cos (\frac{π}{6} - 2 x)$ B、 $f (x) = \sqrt{2} \sin (2 x + \frac{π}{3})$ C、 $f (x)$ 的对称轴为 $x = k π + \frac{π}{12} ， k \in Z$ D、 $f (x)$ 的递减区间为 $[k π - \frac{5 π}{12} ， k π + \frac{π}{12}] ， k \in Z$

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{\sin x}{x}$ ， $x \in (0 ， π]$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $f (x)$ 在区间 $(0 ， π]$ 上单调递减 B、若 $0 < x_{1} < x_{2} \leq π$ ，则 $x_{1} \cdot \sin x_{2} > x_{2} \cdot \sin x_{1}$ C、 $f (x)$ 在区间 $(0 ， π]$ 上的值域为 $[0 ， 1)$ D、若函数 $g (x) = x g^{'} (x) + \cos x$ ，且 $g (π) = - 1$ ， $g (x)$ 在 $(0 ， π]$ 上单调递减

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三、填空题

13. 设 $a, b$ 为单位向量，且 $| \vec{a} - \vec{b} | = 1$ ，则 $| \vec{a} - 2 \vec{b} | =$

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14. 函数 $f (x) = \sqrt{1 - x^{2}} + \ln x$ 的定义域为

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15. 已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的偶函数，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，若对任意的正实数， $x f^{'} (x) + 2 f (x) < 0 ， g (x) = x^{2} f (x)$ ，则不等式 $g (2^{| x - 1 |}) > g (- \sqrt{2})$ 的解集为

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16. 如图，C、D是两所学校所在地，C、D到一条公路的垂直距离分别为 $C A = 8 k m ， D B = 27 k m$ .为了缓解上下学的交通压力，决定在AB上找一点P，分别向C、D修建两条互相垂直的公路PC和PD，设 $∠ A P C = θ (0 < θ < \frac{π}{2})$ ，则当 $P C + P D$ 最小时， $A P =$ $k m$ .

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四、解答题

17. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知向量 $\vec{a} = (\frac{\sqrt{3}}{2} ， - \frac{1}{2}) ， \vec{b} = (\cos x ， \sin x) ， x \in (0 ， \frac{π}{2})$ .

(1)、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，求 $\tan x$ 的值；

(2)、若 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量长度为 $\frac{1}{2}$ ，求 $x$ 的值.

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18. 某市作为新兴的“网红城市”，有很多风靡网络的“网红景点”，每年都有大量的游客来参观旅游。为提高经济效益，管理部门对某一景点进行了改造升级，经市场调查，改造后旅游增加值y万元投入 $x (x \geq 10)$ 万元之间满足： $y = \frac{1}{2} a x^{2} + b x - \ln \frac{x}{5}$ （a，b为常数），当 $x = 10$ 万元时， $y = 17.7$ 万元；当 $x = 15$ 万元时， $y = 25$ 万元.（参考数据： $\ln 2 = 0.7 ， \ln 3 = 1.1 ， \ln 5 = 1.6$ ）

(1)、写出该景点改造升级后旅游增加利润 $L (x)$ 万元与投入 $x$ 万元的函数解析式；（利润=旅游增加值－投入）

(2)、投入多少万元时，旅游增加利润最大？最大利润是多少万元？（精确到0.1）

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19. 在① $a \cos B + b \sin A = c$ ，② $b + b \cos A = \sqrt{3} a \sin B$ ，③ $b^{2} + c^{2} - a^{2} = 4 \sqrt{3} S_{△ A B C}$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 $b c$ 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.
问题：在 $△ A B C$ 中，它的内角A，B，C的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $△ A B C$ 的外接圆半径为2，且 $b + c = \sqrt{2} a$ ，___________.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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20. 古希腊数学家海伦著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三边长求三角形的面积.若三角形的三边分别为 $a 、 b 、 c$ ，则其面积 $s = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ，这里 $p = \frac{a + b + c}{2}$ ，已知在 $△ A B C$ 中， $B C = 8$ ， $A B = 3 A C$ .

(1)、设 $A C = x$ ，试将三角形的面积s表示成 $x$ 的函数；

(2)、求s的最大值，并求三角形面积最大时 $\sin A$ 的值.

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21. 已知函数 $f (x) = {(x - 1)}^{2} + a (\ln x - x + 1)$ （ $a > 0$ ）.

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $x f^{'} (x) \geq \frac{x - 1}{x} \ln x$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} + a x - 1 (a \in R)$ .

(1)、若对任意的实数 $x$ ，函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象与直线 $y = x$ 有且只有两个交点，求 $a$ 的取值范围；

(2)、设 $g (x) = f (x) - \frac{1}{2} x^{2} + 1$ ，若函数 $g (x)$ 有两个极值点 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，证明： $g (x_{1}) + g (x_{2}) > 2$ .

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