山东省潍坊市2020-2021学年高三上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-12-11 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 2 \leq x < 4}$ ， $B = {x | - 5 < x \leq 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | - 5 < x < 4}$ B、 ${x | - 5 < x \leq - 2}$ C、 ${x | - 2 \leq x \leq 3}$ D、 ${x | 3 \leq x < 4}$

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2. “ $a > 1$ ”是“ $(a - 1) (a - 2) < 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知变量 $x$ ， $y$ 之间的一组数据如表：

$x$

3

4

5

6

$y$

2.5

3

4

4.5

若 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程为 $\hat{y} = 0.7 x + \hat{a}$ ，则 $\hat{a} =$ （）

A、0.1 B、0.2 C、0.35 D、0.45

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4. 已知 $a$ ， $b$ 为不同直线， $α$ ， $β$ 为不同平面，则下列结论正确的是（）

A、若 $a ⊥ α$ ， $b ⊥ a$ ，则 $b // α$ B、若 $a$ ， $b \subset α$ ， $a // β$ ， $b // β$ ，则 $α // β$ C、若 $a // α$ ， $b ⊥ β$ ， $a // b$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $α \cap β = b$ ， $a \subset α$ ， $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $α ⊥ β$

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5. 高一某班有5名同学报名参加学校组织的三个不同社区服务小组，每个小组至多可接收该班2名同学，每名同学只能报一个小组，则报名方案有（）

A、15种 B、90种 C、120种 D、180种

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6. 已知 $α \in (\frac{π}{2}, π)$ ， $\tan α = - 3$ ，则 $\sin (α - \frac{π}{4})$ 等于（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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7. 随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益.假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量 $N$ （单位：贝克）与时间 $t$ （单位：天）满足函数关系 $P (t) = P_{0} 2^{- \frac{t}{30}}$ ，其中 $P_{0}$ 为时该放射性同位素的含量.已知 $t = 15$ 时，该放射性同位素的瞬时变化率为 $- \frac{3 \sqrt{2} \ln 2}{10}$ ，则该放射性同位素含量为 $4.5$ 贝克时衰变所需时间为（）

A、20天 B、30天 C、45天 D、60天

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8. 定义运算 $\otimes$ ：①对 $\forall m \in R$ ， $m \otimes 0 = 0 \otimes m = m$ ；②对 $\forall m$ ， $n$ ， $p \in R$ ， $(m \otimes n) \otimes p = p \otimes (m n) + m \otimes p + n \otimes p$ .若 $f (x) = e^{x - 1} \otimes e^{1 - x}$ ，则有（）

A、函数 $y = f (x)$ 的图象关于 $x = 1$ 对称 B、函数 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增 C、函数 $y = f (x)$ 的最小值为2 D、 $f (2^{\frac{2}{3}}) > f (2^{\frac{3}{2}})$

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二、多选题

9. 中国的华为公司是全球领先的 $I C T$ （信息与通信）基础设施和智能终端提供商，其致力于把数字世界带给每个人、每个家庭、每个组织，构建万物互联的智能世界.其中华为的 $5 G$ 智能手机是全世界很多年轻人非常喜欢的品牌.为了研究某城市甲、乙两个华为 $5 G$ 智能手机专卖店的销售状况，统计了2020年4月到9月甲、乙两店每月的营业额（单位：万元），得到如下的折线图，则下列说法正确的是（）

A、根据甲店的营业额折线图可知，该店月营业额的平均值在 $[31 ， 32]$ 内 B、根据乙店的营业额折线图可知，该店月营业额总体呈上升趋势 C、根据甲、乙两店的营业额折线图可知乙店的月营业额极差比甲店小 D、根据甲、乙两店的营业额折线图可知7、8、9月份的总营业额甲店比乙店少

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10. 若非零实数 $x$ ， $y$ 满足 $x > y$ ，则以下判断正确的是（）

A、 $\frac{1}{x} < \frac{1}{y}$ B、 $x^{3} > y^{3}$ C、 ${(\frac{1}{2})}^{x} > {(\frac{1}{2})}^{y}$ D、 $\ln (x - y + 1) > 0$

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11. 已知函数 $f (x) = \cos (ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的最小正周期为 $π$ ，其图象的一条对称轴为 $x = \frac{5 π}{12}$ ，则（）

A、 $φ = \frac{π}{3}$ B、函数 $f (x)$ 的图象可由 $y = \sin 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个承位长度得到 C、函数 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的值域为 $[- 1, \frac{\sqrt{3}}{2}]$ D、函数 $f (x)$ 在区间 $[- π, - \frac{π}{2}]$ 上单调递减

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 - 4 | x - \frac{1}{2} |, 0 \leq x \leq 1, \\ a f (x - 1), x > 1, \end{array}$ 其中 $a \in R$ ，下列关于函数 $f (x)$ 的判断正确的为（）

A、当 $a = 2$ 时， $f (\frac{3}{2}) = 4$ B、当 $| a | < 1$ 时，函数 $f (x)$ 的值域 $[- 2, 2]$ C、当 $a = 2$ 且 $x \in [n - 1, n] (n \in N^{*})$ 时， $f (x) = 2^{n - 1} (2 - 4 | x - \frac{2 n - 1}{2} |)$ D、当 $a > 0$ 时，不等式 $f (x) \leq 2 a^{x - \frac{1}{2}}$ 在 $[0, + \infty)$ 上恒成立

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三、填空题

13. ${(x^{2} + \frac{2}{x})}^{5}$ 的展开式中 $x^{4}$ 项的系数为．

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14. 若一直角三角形的面积为50，则该直角三角形的斜边的最小值为.

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15. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，满足 $f (1 - x) = f (1 + x)$ .若 $f (1) = 1$ ，则 $f (1) + f (2) + f (3) + \cdot \cdot \cdot + f (2021) =$ .

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四、双空题

16. 已知菱形 $A B C D$ 边长为3， $∠ B A D = 60 °$ ， $E$ 为对角线 $A C$ 上一点， $A C = 6 A E$ .将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 翻折到 $△ A^{'} B D$ 的位置， $E$ 记为 $E^{'}$ 且二面角 $A^{'} - B D - C$ 的大小为120°，则三棱锥 $A^{'} - B C D$ 的外接球的半径为；过 $E^{'}$ 作平面 $α$ 与该外接球相交，所得截面面积的最小值为.

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五、解答题

17. 已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面边长为2，点 $E$ ， $F$ 分别为棱 $C C_{1}$ 与 $A_{1} B_{1}$ 的中点.

(1)、求证：直线 $E F //$ 平面 $A_{1} B C$ ；

(2)、若该正三棱柱的体积为 $2 \sqrt{6}$ ，求直线 $E F$ 与平面 $A B C$ 所成角的余弦值.

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18. 在① $c \sin B = b \sin \frac{A + B}{2}$ ，② $\cos B = \frac{\sqrt{21}}{7}$ ，③ $b \cos C + c \sin B = a$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线处，并完成解答.问题： $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $A = \frac{π}{3}$ ， $D$ 是边 $A B$ 上一点， $A D = 5$ ， $C D = 7$ ，且_________，试判断 $A D$ 和 $D B$ 的大小关系. （注：如果选择多个条件分別解答，按第一个解答计分）

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19. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 3 b x + c$ 在 $x = 0$ 处取得极大值1.

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的图象在 $x = 1$ 处切线的方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $[t ， t + 2]$ 上不单调，求实数 $t$ 的取值范围.

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20. 四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $C D // A B$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 2 B C = 2 C D = 4$ ，侧面 $P A D ⊥$ 面 $A B C D$ ， $P A = P D = 2$ .

(1)、求证 $B D ⊥ P A$ ；

(2)、已知平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 的交线为 $l$ ，在 $l$ 上是否存在点 $N$ ，使二面角 $P - D C - N$ 的余弦值为 $\frac{1}{3}$ ？若存在，请确定 $N$ 点位置，若不存在，请说明理由.

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21. 2020年10月16日，是第40个世界粮食日.中国工程院院士袁隆平海水稻团队迎来了海水稻的测产收割，其中宁夏石嘴山海水稻示范种植基地YC-801测产，亩产超过648.5公斤，通过推广种植海水稻，实现亿亩荒滩变粮仓，大大提高了当地居民收入.某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标值为

m (m \in [70 ， 100])

，其质量指标等级划分如下表：

质量指标值 $m$	$[70 ， 75)$	$[75 ， 80)$	$[80 ， 85)$	$[85 ， 90)$	$[90 ， 100]$
质量指标等级	良好	优秀	良好	合格	废品

为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产.现从试生产的产品中随机抽取了1000件，将其质量指标值 $m$ 的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图：

(1)、若将频率作为概率，从该产品中随机抽取3件产品，记“抽出的产品中至少有1件不是废品”为事件

A

，求事件

A

发生的概率；

(2)、若从质量指标值

m \geq 85

的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件产品，求质量指标值

m \in [90 ， 95)

的件数

X

的分布列及数学期望；

(3)、若每件产品的质量指标值

m

与利润

y

（单位：元）的关系如下表

(1 < t < 4)

：

质量指标值 $m$	$[70 ， 75)$	$[75 ， 80)$	$[80 ， 85)$	$[85 ， 90)$	$[90 ， 100]$
利润 $y$ （元）	$6 t$	$8 t$	$4 t$	$2 t$	$- \frac{5}{3} e^{t}$

试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定 $t$ 为何值时，每件产品的平均利润达到最大（参考数值： $\ln 2 \approx 0.7$ ， $\ln 5 \approx 1.6$ ）.

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22. 已知函数 $f (x) = x e^{x} - a (\ln x + x)$ .

(1)、当 $a > 0$ 时，求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、若对任意 $x > 0$ 恒有不等式 $f (x) \geq 1$ 成立.
①求实数 $a$ 的值；

②证明： $x^{2} e^{x} > (x + 2) \ln x + 2 \sin x$ .

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$x$	3	4	5	6
$y$	2.5	3	4	4.5