山东省临沂市2020-2021学年高三上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-12-11 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x \in Z | - 1 \leq x \leq 2}$ ， $B = {x | x^{2} < 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ B、 ${0}$ C、 ${- 1 ， 0}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$

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2. 复数 $z$ 满足 $2 z + | z | = 2 i$ ，则 $z$ 在复平面上对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 设 $a$ ， $b \in R$ ，则“ $\ln a > \ln b$ ”是“ $\ln \frac{a}{b} > 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知命题 $p ： \exists m \in R$ ， $f (x) = 3^{x} - m \log_{2} x$ 是增函数，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\exists m \in R$ ， $f (x) = 3^{x} - m \log_{2} x$ 是减函数 B、 $\forall m \in R$ ， $f (x) = 3^{x} - m \log_{2} x$ 是增函数 C、 $\exists m \in R$ ， $f (x) = 3^{x} - m \log_{2} x$ 不是增函数 D、 $\forall m \in R$ ， $f (x) = 3^{x} - m \log_{2} x$ 不是增函数

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5. 若 $a = {(\sqrt{2})}^{\frac{2}{3}}, b = \log_{3} e, c = {(\frac{1}{e})}^{- \frac{1}{3}}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > a > b$ C、 $a > c > b$ D、 $c > b > a$

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6. 如图， $A B$ 是单位圆 $O$ 的直径，点 $C$ ， $D$ 是半圆弧 $A B$ 上的两个三等分点，则 $\vec{A C} \cdot \vec{A D} =$ （）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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7. 标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，此表中各行均为正方形“E”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E”边长的 $\sqrt[10]{10}$ 倍，若视力4.2的视标边长为 $a$ ，则视力5.1的视标边长为（）

A、 $10^{- \frac{9}{10}} a$ B、 $10^{- \frac{4}{5}} a$ C、 $10^{\frac{4}{5}} a$ D、 $10^{\frac{9}{10}} a$

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8. 定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 在 $[0, 1]$ 上单调递减，且满足 $f (x + 1) = - f (x)$ ， $f (π) = 1$ ， $f (2 π) = 2$ ，则不等式组 ${\begin{cases} 1 \leq x \leq 2, \\ 1 \leq f (x) \leq 2 \end{cases}$ 的解集为（）

A、 $[1, \frac{π}{2}]$ B、 $[2 π - 6, 4 - π]$ C、 $[π - 2, \frac{π}{2}]$ D、 $[π - 2, 8 - 2 π]$

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二、多选题

9. 下列结论正确的是（）

A、若 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} < 0$ ，则 $△ A B C$ 是钝角三角形 B、若 $a \in R$ ，则 $a + \frac{3}{a} \geq 2 \sqrt{3}$ C、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 1 > 0$ D、若 $P$ ， $A$ ， $B$ 三点满足 $\vec{O P} = \frac{1}{4} \vec{O A} + \frac{3}{4} \vec{O B}$ ，则 $P$ ， $A$ ， $B$ 三点共线

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10. 在日常生活中，我们会看到两人共提一个行李包的情境（如图）假设行李包所受重力均为 $\vec{G}$ ，两个拉力分别为 $\vec{F_{1}}$ ， $\vec{F_{2}}$ ，若 $| \vec{F_{1}} | = | \vec{F_{2}} |$ ， $\vec{F_{1}}$ 与 $\vec{F_{2}}$ 的夹角为 $θ$ ．则以下结论正确的是（）

A、 $| \vec{F_{1}} |$ 的最小值为 $\frac{1}{2} | \vec{G} |$ B、 $θ$ 的范围为 $[0 ， π]$ C、当 $θ = \frac{π}{2}$ 时， $| \vec{F_{1}} | = \frac{\sqrt{2}}{2} | \vec{G} |$ D、当 $θ = \frac{2 π}{3}$ 时， $| \vec{F_{1}} | = | \vec{G} |$

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = p$ ， $2 S_{n} - S_{n - 1} = 2 p$ （ $n \geq 2$ ， $p$ 为非零常数），则下列结论正确的是（）

A、 ${a_{n}}$ 是等比数列 B、当 $p = 1$ 时， $S_{4} = \frac{15}{8}$ C、当 $p = \frac{1}{2}$ 时， $a_{m} \cdot a_{n} = a_{m + n}$ D、 $| a_{3} | + | a_{8} | = | a_{5} | + | a_{6} |$

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12. 记函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的定义域的交集为 $I$ ，若存在 $x_{0} \in I$ ，使得对任意 $x \in I$ ，不等式 $[f (x) - g (x)]$ $(x - x_{0}) \geq 0$ 恒成立，则称 $(f (x) ， g (x))$ 构成“相关函数对”．下列所给的两个函数构成“相关函数对”的有（）

A、 $f (x) = e^{x}$ ， $g (x) = x + 1$ B、 $f (x) = \ln x$ ， $g (x) = \frac{1}{x}$ C、 $f (x) = x$ ， $g (x) = x^{2}$ D、 $f (x) = \sqrt{x}$ ， $g (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (4, - 7)$ ，若 $\vec{a} // \vec{c}$ ， $\vec{a} ⊥ (\vec{b} + \vec{c})$ ，则 $| \vec{c} | =$ ．

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14. 已知函数 $f (x) = a \cos x$ ， $g (x) = x^{2} + b x + 2$ ，若曲线 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 在公共点 $(0, m)$ 处有公切线，则 $a + b =$ ．

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15. 如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为直角三角形 $A B C$ 的斜边 $A B$ 、直角边 $B C$ 、 $A C$ ， $N$ 为 $A C$ 的中点，点 $D$ 在以 $A C$ 为直径的半圆上.已知以直角边 $A C$ ， $B C$ 为直径的两个半圆的面积之比为3， $\sin ∠ D A B = \frac{3}{5}$ ，则 $\cos ∠ D N C =$ ．

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四、双空题

16. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数6，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需要8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = m$ （ $m$ 为正整数）， $a_{n + 1} = {\begin{array}{l} \frac{a_{n}}{2}, 当 a_{n} 为偶数时, \\ 3 a_{n} + 1, 当 a_{n} 为奇数时 . \end{array}$ 当 $m = 13$ 时，试确定使得 $a_{n} = 1$ 需要步雹程；若 $a_{7} = 1$ ，则 $m$ 所有可能的取值所构成的集合 $M =$ .

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五、解答题

17. 在① $\sin B + \sqrt{3} \cos B = 2$ ，② $\cos 2 B + \sqrt{3} \cos B - 2 = 0$ ，③ $b^{2} - a^{2} = c^{2} - \sqrt{3} a c$ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.
问题：已知 $△ A B C$ 的三边 $a$ ， $b$ ， $c$ 所对的角分别为 $A$ ， $B$ ， $C$ ，若 $a = 4$ ， $c = \sqrt{3} b$ ，______，求 $△ A B C$ 的面积.

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18. 已知函数 $f (x) = (\sqrt{3} \sin ω x + \cos ω x) \cos ω x - a (ω > 0)$ 的最小正周期为 $4 π$ ，最大值为1

(1)、求 $ω$ ， $a$ 的值，并求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、将 $f (x)$ 图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，再将得到的图象上所有点向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，得到 $g (x)$ 的图象．若 $x \in (0, π)$ ，求满足 $g (x) \geq \frac{\sqrt{3}}{2}$ 的 $x$ 的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} + a x^{2} + b x + a b$ ．

(1)、若 $f (x)$ 是奇函数，且有三个零点，求 $b$ 的取值范围；

(2)、若 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处有极大值 $- \frac{22}{3}$ ，求当 $x \in [- 1 ， 2]$ 时 $f (x)$ 的值域．

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20. 汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并集合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间

t_{0}

、人的反应时间

t_{1}

、系统反应时间

t_{2}

、制动时间

t_{3}

，相应的距离分别为

d_{0}

，

d_{1}

，

d_{2}

，

d_{3}

，如下图所示．当车速为

v

（米/秒），且

v \in (0 ， 33.3]

时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其中系数

k

随地面湿滑程度等路面情况而变化，

k \in [1 ， 2]

）．

阶段	0.准备	1.人的反应	2.系统反应	3.制动
时间	$t_{0}$	$t_{1} = 0.8$ 秒	$t_{2} = 0.2$ 秒	$t_{3}$
距离	$d_{0} = 10$ 米	$d_{1}$	$d_{2}$	$d_{3} = \frac{v^{2}}{20 k}$ 米

(1)、请写出报警距离

d

（米）与车速

v

（米/秒）之间的函数关系式

d (v)

；并求当

k = 1

，在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间（精确到0.1秒）；

(2)、若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少千米/小时？

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 a_{n} - 2$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、在 $a_{n}$ 与 $a_{n + 1}$ 之间插入 $n$ 个数，使这 $n + 2$ 个数组成一个公差为 $d_{n}$ 的等差数列，在数列 ${d_{n}}$ 中是否存在3项 $d_{m}$ ， $d_{k}$ ， $d_{p}$ （其中 $m$ ， $k$ ， $p$ 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = \ln x - m x + 1$ ， $g (x) = x (e^{x} - 2)$ ．

(1)、若 $f (x)$ 的最大值是0，求 $m$ 的值；

(2)、若对其定义域内任意 $x$ ， $f (x) \leq g (x)$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围．

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