江西省赣州市十五县（市)十六校2021届高三上学期理数期中联考试卷

试卷更新日期：2020-12-11 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 3 \leq 0, x \in Ζ}$ ，集合 $B = {x | x > 0}$ ，则集合 $A \cap B$ 的元素个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 设 $\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}$ 是非零向量，则“存在实数 $λ$ ，使得 $\overset{⇀}{a} = λ \overset{⇀}{b}$ ”是“ $| \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} | = | \overset{⇀}{a} | + | \overset{⇀}{b} |$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知 $a = \log_{0.2} 2$ ， $b = 0 . 2^{2}$ ， $c = 3^{0.2}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $b < c < a$

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4. 华罗庚是上世纪我国伟大的数学家，以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”、“华氏不等式”、“华王方法”等．他除了数学理论研究，还在生产一线大力推广了“优选法”和“统筹法”．“优选法”，是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优方案的一种科学方法．在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每16人为组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该16人再次抽检确认感染者．某组16人中恰有一人感染（鼻咽拭子样本检验将会是阳性），若逐一检测可能需要15次才能确认感染者．现在先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组．继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查……以此类推，最终从这16人中认定那名感染者需要经过（）次检测．

A、3 B、4 C、5 D、6

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5. 函数 $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{e^{| x |}}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 要得到函数 $y = \cos x$ 的图象，只需将函数 $y = \sin (2 x + \frac{π}{4})$ 的图象上所有的点的（）

A、横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍（纵坐标不变），再向左平行移动 $\frac{π}{8}$ 个单位长度 B、横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍（纵坐标不变），再向右平行移动 $\frac{π}{4}$ 个单位长度 C、横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动 $\frac{π}{4}$ 个单位长度 D、横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动 $\frac{π}{8}$ 个单位长度

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7. 在 $△ A B C$ 中， $| C A | = 1$ ， $| C B | = 2$ ， $∠ A C B = \frac{2}{3} π$ ，点 $M$ 满足 $\overset{⇀}{C M} = \overset{⇀}{C B} + 2 \overset{⇀}{C A}$ ，则 $\overset{⇀}{M A} \cdot \overset{⇀}{M B} =$ （）

A、0 B、2 C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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8. 黄金三角形有两种，其中底和腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是顶角为 $36 °$ 的等腰三角形（另一种是顶角为 $108 °$ 的等腰三角形）.例如，正五角星由5个黄金三角形和一个正五边形组成，如图所示，在一个黄金三角形 $A B C$ 中， $\frac{B C}{A C} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，根据这些信息，可得 $\sin 234 ° =$ （）

A、 $\frac{1 - 2 \sqrt{5}}{4}$ B、 $- \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$ C、 $- \frac{3 + \sqrt{5}}{8}$ D、 $- \frac{4 + \sqrt{5}}{8}$

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9. 已知 $f (x) = \sin ω x + \sqrt{3} \cos ω x$ （ $ω > 0$ ）在区间 $[\frac{π}{6} ， \frac{π}{4}]$ 上单调递增，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{2}{3}]$ B、 $(0 ， \frac{2}{3}] \cup [7 ， \frac{26}{3}]$ C、 $[7 ， \frac{26}{3}] \cup [\frac{50}{3} ， 19]$ D、 $(0 ， \frac{2}{3}] \cup [\frac{50}{3} ， 19]$

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10. 函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ ，对任意 $x \in R$ ，都有 $f^{'} (x) > f (x)$ 成立，若 $f (\ln 2) = 2$ ，则满足不等式 $f (x) > e^{x}$ 的 $x$ 的范围是（）

A、 $x > 1$ B、 $0 < x < 1$ C、 $x > \ln 2$ D、 $0 < x < \ln 2$

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11. 已知函数 $f (x) = a^{x} + 2 \sin (\frac{π}{6} x) - x \ln a$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ），对任意 $x_{1} ，$ $x_{2} \in [0 ， 1]$ ，不等式 $| f (x_{2}) - f (x_{1}) | \leq a - 2$ 恒成立，则实数a的最小值是（）

A、 $e^{2}$ B、e C、3 D、2

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{m} ， x = 0 \\ e^{- | x |} ， x \neq 0 \end{array}$ ，关于x的方程 $3 m f^{2} (x) - (2 m + 3) f (x) + 2 = 0$ 有以下结论：①存在实数m，使方程有2个解；②当方程有3个解时，这3个解的和为0；③不存在实数m，使方程有4个解；④当方程有5个解时，实数m的取值范围是 $(1 ， \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2} ， + \infty)$ ．其中正确结论的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

13. 设函数 $f (x) = a x^{2} + b$ （ $a \neq 0$ ），若 $\int_{0}^{3} f (x) d x = 3 f (x_{0})$ ， $x_{0} > 0$ ，则 $x_{0} =$ ．

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14. 已知向量 $\vec{a} = (1, 3)$ ， $\vec{b} = (- 2, 1)$ ， $\vec{c} = (3, 2)$ ．若向量 $\vec{a}$ 与向量 $k \vec{b} + \vec{c}$ 共线，则实数 $k =$ ．

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15. 已知命题 $p$ ： $\exists x \in R, x^{2} + 2 x + m \leq 0$ ，命题 $q$ ：幂函数 $f (x) = x^{\frac{1}{m - 3} + 1}$ 在 $(0, + \infty)$ 是减函数，若“ $p \lor q$ ”为真命题，“ $p \land q$ ”为假命题，则实数 $m$ 的取值范围是．

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16. 已知函数 $f (x) = x^{2} + 2 ax$ ， $g (x) = 4 a^{2} lnx + b$ ，设两曲线 $y = f (x)$ ， $y = g (x)$ 有公共点P，且在P点处的切线相同，当 $a \in (0, + \infty)$ 时，实数b的最大值是．

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = x^{3} + 3 a x^{2} + b x + a^{2}$ 在 $x = - 1$ 时有极值0．

(1)、求常数 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[- 4 ， 0]$ 上的最值．

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18. 在锐角 $Δ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知 $b \sin A = a \sin (B + \frac{π}{3})$ ．

(1)、求角B的大小；

(2)、求 $\frac{c}{a}$ 的取值范围

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19. 已知函数 $f (x) = \sin^{2} x + \sin x \cos x - \frac{1}{2}$ ， $x \in R$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最大值，并写出相应的x的取值集合；

(2)、若 $f (α) = \frac{\sqrt{2}}{6}$ ， $α \in (- \frac{π}{8}, \frac{3 π}{8})$ ，求 $\sin 2 α$ 的值．

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20. 设 $D$ 是函数 $y = f (x)$ 定义域的一个子集，若存在 $x_{0} \in D$ ，使得 $f (x_{0}) = - x_{0}$ 成立，则称 $x_{0}$ 是 $f (x)$ 的一个“准不动点”，也称 $f (x)$ 在区间 $D$ 上存在准不动点，已知 $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} (4^{x} + a \cdot 2^{x} - 1)$ ， $x \in [0, 1]$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求函数 $f (x)$ 的准不动点；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[0, 1]$ 上存在准不动点，求实数a的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = \ln x + x + 1$ ， $g (x) = x^{2} + 2 x$ ．

(1)、求函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ 在 $(1 ， h (1))$ 处的切线方程；

(2)、若实数 $m$ 为整数，且对任意的 $x > 0$ 时，都有 $f (x) - m g (x) \leq 0$ 恒成立，求实数 $m$ 的最小值．

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22. 选修4-4：坐标系与参数方程:在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1} : {\begin{matrix} x = \cos t \\ y = 1 + \sin t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数），以坐标原点 $O$ 为极点，以 $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $2 ρ \cos (θ - \frac{π}{3}) = 3 \sqrt{3}$ .

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程；

(2)、已知点 $M (2, 0)$ ，直线 $l$ 的极坐标方程为 $θ = \frac{π}{6}$ ，它与曲线 $C_{1}$ 的交点为 $O$ ， $P$ ，与曲线 $C_{2}$ 的交点为 $Q$ ，求 $Δ M P Q$ 的面积.

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23. 已知 $f (x) = | x + 1 | - | a x - 1 |$

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) > 1$ 的解集

(2)、若 $x \in (0 ， 1)$ 时，不等式 $f (x) > x$ 成立，求 $a$ 的取值范围

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