河北省邢台市2020-2021学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-12-10 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知命题 $p : \forall x \in R$ ， $2 x^{2} + 2 x + 1 > 0$ ，则p的否定是（）

A、 $\exists x \in R, 2 x^{2} + 2 x + 1 > 0$ B、 $\forall x \in R, 2 x^{2} + 2 x + 1 < 0$ C、 $\exists x \in R, 2 x^{2} + 2 x + 1 \leq 0$ D、 $\forall x \in R, 2 x^{2} + 2 x + 1 \leq 0$

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2. 抛物线 $x^{2} = \frac{1}{4} y$ 的准线方程为（）

A、 $x = - 1$ B、 $x = - \frac{1}{16}$ C、 $y = - 1$ D、 $y = - \frac{1}{16}$

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3. 某中学初中部有600名学生，高中部有800名学生，其性别比例如图所示，则该校男生比女生多（）

A、60人 B、100人 C、150人 D、180人

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4. 2020年“五一”劳动节某中学组织开展了“劳动美”社会实践活动，鼓励孩子们居家劳动，在做家务中体验劳动的艰辛与快乐．某同学要在洗碗、拖地、收纳衣服、做饭、买菜这五种家务中任选两种，则该同学没有选择洗碗的概率为（）

A、 $\frac{7}{10}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{5}$

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5. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{2 m^{2}} + \frac{y^{2}}{m^{2}} = 1 (m > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，P为C上任意一点，则 $| P F_{1} | + | P F_{2} | \geq 12$ 的一个充分不必要条件是（）

A、 $| F_{1} F_{2} | \geq 6$ B、 $| F_{1} F_{2} | \geq 6 \sqrt{2}$ C、 $| F_{1} F_{2} | \geq 4 \sqrt{3}$ D、 $| F_{1} F_{2} | \geq 9$

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6. 双曲线 $\frac{x^{2}}{\sin^{2} 40^{°}} - \frac{y^{2}}{\cos^{2} 40^{°}} = 1$ 的渐近线的斜率为（）

A、 $\pm \tan 50 °$ B、 $\pm \tan 40 °$ C、 $\pm \sin 50 °$ D、 $\pm \sin 40 °$

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7. 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标原点O，并且经过点 $M (3, y_{0})$ ，若点M到该抛物线焦点的距离为6，则 $| O M | =$ （）

A、5 B、 $3 \sqrt{5}$ C、6 D、 $6 \sqrt{2}$

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8. 设 $F_{1}, F_{2}$ 分别为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左､右焦点，实轴为 $A_{1} A_{2}$ ．若P为C右支上的一点，线段 $P F_{1}$ 的中点为M，且 $F_{2} M ⊥ P F_{1}, | F_{2} M | = \frac{\sqrt{7}}{2} | A_{1} A_{2} |$ ，则C的离心率为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、2 D、 $\frac{7}{3}$

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二、多选题

9. 某射击运动员进行了14次射击训练，统计数据如下表：

命中环数

6

7

8

9

10

频数

1

2

4

5

2

则（）

A、这组数据的中位数为8.5 B、这组数据的众数为8 C、这组数据的中位数为8 D、这组数据的众数为9

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10. 已知双曲线 $C : x^{2} - \frac{y^{2}}{6} = 1$ ，则（）

A、C的焦距为 $\sqrt{7}$ B、C的虚轴长是实轴长的 $\sqrt{6}$ 倍 C、双曲线 $\frac{y^{2}}{6} - x^{2} = 1$ 与C的渐近线相同 D、直线 $y = 3 x$ 上存在一点在C上

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11. 下列判断中正确的是（）

A、“ $x > 2 \ln 2$ ”是“ $x > \ln 3$ ”的充分不必要条件 B、“ $a > 1$ ”是“函数 $f (x) = x^{2} - a x + a^{2} - 1$ 有两个正零点”的充要条件 C、“ $b^{2} = a c$ ”是“ $a, b, c$ 成等比数列”的必要不充分条件 D、“ $a > 2 b$ ”是“ $a^{2} > 4 b^{2}$ ”的既不充分也不必要条件

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12. 已知曲线C的方程为 $x^{2} + \frac{y^{2}}{9} = 1 (0 < x \leq 1)$ ， $A (0, - 3), B (0, 3), D (- 1, 0)$ ，点P是C上的动点，直线 $A P$ 与直线 $x = 5$ 交于点M，直线 $B P$ 与直线 $x = 5$ 交于点N，则 $△ D M N$ 的面积可能为（）

A、73 B、76 C、68 D、72

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三、填空题

13. 椭圆 $\frac{x^{2}}{7} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的左焦点的坐标为．

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14. 已知一组数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{10}$ 的方差为5，则数据 $3 x_{1} - 10, 3 x_{2} - 10, 3 x_{3} - 10, \dots, 3 x_{10} - 10$ 的方差为．

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15. 设有下列四个命题：
①若 $A > 0, B < 0$ ，则直线 $A x + B y - 2 = 0$ 不经过第二象限；

②抛物线 $x^{2} = - 8 y$ 的焦点在圆 $x^{2} + {(y + 1)}^{2} = 2$ 的内部；

③若方程 $x^{2} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ 表示双曲线，则 $m < 0$ ；

④不等式 $l g (x^{2} - 1) < 1$ 的解集为 $(- \sqrt{11}, \sqrt{11})$ ．

其中所有真命题的序号是．

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16. 已知动圆Q与圆 $C_{1} : x^{2} + {(y + 4)}^{2} = 9$ 外切，与圆 $C_{2} : x^{2} + {(y - 4)}^{2} = 9$ 内切，则动圆圆心Q的轨迹方程为．

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四、解答题

17. 在① $m > 0$ ，且C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为 $3 + \sqrt{3}$ ，②C的焦距为6，③C上一点到两焦点距离之差的绝对值为4.这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．问题：已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{m} - \frac{y^{2}}{2 m} = 1$ ，__________，求C的方程．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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18. 如今，中国的“双十一”已经变成了全民狂欢的“电商购物日”某电商统计了近8年“双十一”期间该电商的宣传费用x（单位：万元）和利润y（单位：十万元）的数据，得到下列表格：

x

2

3

4

5

6

8

9

11

y

1

2

3

3

4

5

6

8

附：回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ，参考数据： $\sum_{i = 1}^{8} x_{i} y_{i} = 241, \sum_{i = 1}^{8} x_{i}^{2} = 356$ ．

(1)、由表中数据，求y关于x的线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ （ $\hat{b}$ ， $\hat{a}$ 精确到0.01）；

(2)、用（1）中的回归方程预测当宣传费为14万元时的利润．

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19. 已知直线l与抛物线 $C : y^{2} = 5 x$ 交于 $A, B$ 两点．

(1)、若l的方程为 $y = 2 x - 1$ ，求 $| A B |$ ；

(2)、若弦 $A B$ 的中点为 $(6, - 1)$ ，求l的方程．

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20. 某食品厂为了检测某批袋装食品的质量，从该批食品中抽取了一个容量为100的样本，测量它们的质量（单位：克）．根据数据分为 $[92 ， 94)$ ， $[94 ， 96)$ ， $[96 ， 98)$ ， $[99 ， 100)$ ， $[100 ， 102)$ ， $[102 ， 104)$ ， $[104 ， 106]$ 七组，其频率分布直方图如图所示．

(1)、根据频率分布直方图，估计这批袋装食品质量的中位数．（保留一位小数）

(2)、记产品质量在 $[98 ， 102)$ 内为优等品，每袋可获利5元；产品质量在 $[92 ， 94)$ 内为不合格品，每袋亏损2元；其余的为合格品，每袋可获利3元．若该批食品共有10000袋，以样本的频率代替总体在各组的频率，求该批袋装食品的总利润．

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21. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F (- 1, 0)$ ，过点F的直线l交椭圆C于 $A, B$ 两点，当直线l垂直于x轴时， $△ O A B$ 的面积为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ （O为原点）．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若直线l的斜率大于 $\sqrt{2}$ ，求直线 $O A$ 的斜率的取值范围．

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22. 已知圆 $M : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = \frac{1}{4}$ ，动圆 $N$ 与圆 $M$ 相外切，且与直线 $x = - \frac{1}{2}$ 相切.

(1)、求动圆圆心 $N$ 的轨迹 $C$ 的方程.

(2)、已知点 $P (- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}), Q (1, 2)$ ，过点 $P$ 的直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于两个不同的点 $A, B$ （与 $Q$ 点不重合），直线 $Q A, Q B$ 的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.

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命中环数	6	7	8	9	10
频数	1	2	4	5	2