2017年山东省莱芜市中考数学试卷

试卷更新日期：2017-10-10 类型：中考真卷

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一、选择题

1. ﹣6的倒数是（）

A、﹣ $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、﹣6 D、6

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2. 某种细菌的直径是0.00000078米，将数据0.00000078用科学记数法表示为（）

A、7.8×10^﹣⁷ B、7.8×10^﹣⁸ C、0.78×10^﹣⁷ D、78×10^﹣⁸

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3. 下列运算正确的是（）

A、2x²﹣x²=1 B、x⁶÷x³=x² C、4x•x⁴=4x⁵ D、（3xy²）²=6x²y⁴

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4. 电动车每小时比自行车多行驶了25千米，自行车行驶30千米比电动车行驶40千米多用了1小时，求两车的平均速度各为多少？设自行车的平均速度为x千米/小时，应列方程为（）

A、 $\frac{30}{x}$ ﹣1= $\frac{40}{x - 25}$ B、 $\frac{30}{x}$ ﹣1= $\frac{40}{x + 25}$ C、 $\frac{30}{x}$ +1= $\frac{40}{x - 25}$ D、 $\frac{30}{x}$ +1= $\frac{40}{x + 25}$

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5. 将一个正方体沿正面相邻两条棱的中点连线截去一个三棱柱，得到一个如图所示的几何体，则该几何体的左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 如图，AB是⊙O的直径，直线DA与⊙O相切于点A，DO交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC=21°，则∠ADC的度数为（）

A、46° B、47° C、48° D、49°

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7. 一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，则该多边形的对角线的条数是（）

A、12 B、13 C、14 D、15

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8. 如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，BC=2，将Rt△ABC绕A点顺时针旋转90°得到Rt△ADE，则BC扫过的面积为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、（2﹣ $\sqrt{3}$ ）π C、 $\frac{2 - \sqrt{3}}{2}$ π D、π

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9. 如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=120°，M是BC边的一个三等分点，P是对角线AC上的动点，当PB+PM的值最小时，PM的长是（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{7}}{3}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{26}}{4}$

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10. 如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD=5，CD=3，sinA=sinB= $\frac{1}{3}$ ，动点P自A点出发，沿着边AB向点B匀速运动，同时动点Q自点A出发，沿着边AD﹣DC﹣CB匀速运动，速度均为每秒1个单位，当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动，设点P运动t（秒）时，△APQ的面积为s，则s关于t的函数图象是（）

A、 B、 C、 D、

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11. 对于实数a，b，定义符号min{a，b}，其意义为：当a≥b时，min{a，b}=b；当a＜b时，min{a，b}=a．例如：min={2，﹣1}=﹣1，若关于x的函数y=min{2x﹣1，﹣x+3}，则该函数的最大值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、1 C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{5}{3}$

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12. 如图，正五边形ABCDE的边长为2，连结AC、AD、BE，BE分别与AC和AD相交于点F、G，连结DF，给出下列结论：①∠FDG=18°；②FG=3﹣ $\sqrt{5}$ ；③（S_四边形_CDEF）²=9+2 $\sqrt{5}$ ；④DF²﹣DG²=7﹣2 $\sqrt{5}$ ．其中结论正确的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

13. （﹣ $\frac{1}{2}$ ）^﹣³﹣2cos45°+（3.14﹣π）⁰+ $\sqrt{8}$ = ．

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14. 圆锥的底面周长为 $\frac{2 π}{3}$ ，母线长为2，点P是母线OA的中点，一根细绳（无弹性）从点P绕圆锥侧面一周回到点P，则细绳的最短长度为．

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15. 直线y=kx+b与双曲线y=﹣ $\frac{6}{x}$ 交于A（﹣3，m），B（n，﹣6）两点，将直线y=kx+b向上平移8个单位长度后，与双曲线交于D，E两点，则S_△_ADE= ．

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16. 二次函数y=ax²+bx+c（a＜0）图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3，1，与y轴交于点C，下面四个结论：
①16a﹣4b+c＜0；②若P（﹣5，y₁），Q（ $\frac{5}{2}$ ，y₂）是函数图象上的两点，则y₁＞y₂；③a=﹣ $\frac{1}{3}$ c；④若△ABC是等腰三角形，则b=﹣ $\frac{2 \sqrt{7}}{3}$ ．其中正确的有（请将结论正确的序号全部填上）

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17. 如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC分别交AC、AD于点F、E，若AD=1，AB=CF，则AE= ．

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三、解答题

18. 先化简，再求值：（a+ $\frac{6 a}{a - 3}$ ）÷（a+ $\frac{9 a + 9}{a - 3}$ ），其中a= $\sqrt{3}$ ﹣3．

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19. 为了丰富校园文化，某学校决定举行学生趣味运动会，将比赛项目确定为袋鼠跳、夹球跑、跳大绳、绑腿跑和拔河赛五种，为了解学生对这五项运动的喜欢情况，随机调查了该校a名学生最喜欢的一种项目（每名学生必选且只能选择五项中的一种），并将调查结果绘制成如图不完整的统计图表：
学生最喜欢的活动项目的人数统计表
项目
学生数（名）
百分比（%）
袋鼠跳
45
15
夹球跑
30
c
跳大绳
75
25
绑腿跑
b
20
拔河赛
90
30
根据图表中提供的信息，解答下列问题：

(1)、a= ， b= ， c= ．

(2)、请将条形统计图补充完整；

(3)、根据调查结果，请你估计该校3000名学生中有多少名学生最喜欢绑腿跑，

(4)、根据调查结果，某班决定从这五项（袋鼠跳、夹球跑、跳大绳、绑腿跑和拔河赛可分别记为A、B、C、D、E）中任选其中两项进行训练，用画树状图或列表的方法求恰好选到学生喜欢程度最高的两项的概率．

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20. 某学校教学楼（甲楼）的顶部E和大门A之间挂了一些彩旗．小颖测得大门A距甲楼的距离AB是31m，在A处测得甲楼顶部E处的仰角是31°．

(1)、求甲楼的高度及彩旗的长度；（精确到0.01m）

(2)、若小颖在甲楼楼底C处测得学校后面医院楼（乙楼）楼顶G处的仰角为40°，爬到甲楼楼顶F处测得乙楼楼顶G处的仰角为19°，求乙楼的高度及甲乙两楼之间的距离．（精确到0.01m）
（cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos19°≈0.95，tan19°≈0.34，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）

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21. 已知△ABC与△DEC是两个大小不同的等腰直角三角形．

(1)、如图①所示，连接AE，DB，试判断线段AE和DB的数量和位置关系，并说明理由；

(2)、如图②所示，连接DB，将线段DB绕D点顺时针旋转90°到DF，连接AF，试判断线段DE和AF的数量和位置关系，并说明理由．

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22. 某网店销售甲、乙两种防雾霾口罩，已知甲种口罩每袋的售价比乙种口罩多5元，小丽从该网店网购2袋甲种口罩和3袋乙种口罩共花费110元．

(1)、该网店甲、乙两种口罩每袋的售价各多少元？

(2)、根据消费者需求，网店决定用不超过10000元购进甲、乙两种口罩共500袋，且甲种口罩的数量大于乙种口罩的 $\frac{4}{5}$ ，已知甲种口罩每袋的进价为22.4元，乙种口罩每袋的进价为18元，请你帮助网店计算有几种进货方案？若使网店获利最大，应该购进甲、乙两种口罩各多少袋，最大获利多少元？

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23. 已知AB是⊙O的直径，C是圆上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过D作DE⊥AC交AC的延长线于点E，如图①．

(1)、求证：DE是⊙O的切线；

(2)、若AB=10，AC=6，求BD的长；

(3)、如图②，若F是OA中点，FG⊥OA交直线DE于点G，若FG= $\frac{19}{4}$ ，tan∠BAD= $\frac{3}{4}$ ，求⊙O的半径．

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24. 抛物线y=ax²+bx+c过A（2，3），B（4，3），C（6，﹣5）三点．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、如图①，抛物线上一点D在线段AC的上方，DE⊥AB交AC于点E，若满足 $\frac{D E}{A E}$ = $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，求点D的坐标；

(3)、如图②，F为抛物线顶点，过A作直线l⊥AB，若点P在直线l上运动，点Q在x轴上运动，是否存在这样的点P、Q，使得以B，P，Q为顶点的三角形与△ABF相似，若存在，求P，Q的坐标，并求此时△BPQ的面积；若不存在，请说明理由．

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项目	学生数（名）	百分比（%）
袋鼠跳	45	15
夹球跑	30	c
跳大绳	75	25
绑腿跑	b	20
拔河赛	90	30