辽宁省抚顺市2020-2021学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-12-10 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设 $m$ ， $n$ 为两条不同的直线， $α$ ， $β$ 为两个不同的平面，下列命题中，正确的是（）

A、若 $m$ ， $n$ 与 $α$ 所成的角相等，则 $m // n$ B、若 $α ⊥ β$ ， $m // α$ ，则 $m ⊥ β$ C、若 $m ⊥ α$ ， $m // β$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $m // α$ ， $n // β$ ，则 $m // n$

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2. 如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧棱 $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ，若 $A B = A C = A A_{1} = 1$ ， $B C = \sqrt{2}$ ，则异面直线 $A_{1} C$ 与 $B_{1} C_{1}$ 所成的角为（）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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3. 已知 $A ， B ， C ， D$ 是同一球面上的四个点，其中 $Δ A B C$ 是正三角形， $A D ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A D = 2 A B = 6$ ，则该球的表面积为（）

A、 $48 π$ B、 $32 \sqrt{3} π$ C、 $24 π$ D、 $16 π$

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4. 如图，在正方形 $S G_{1} G_{2} G_{3}$ 中，E，F分别是 $G_{1} G_{2} ， G_{2} G_{3}$ 的中点，D是EF的中点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个几何体，使 $G_{1} ， G_{2} ， G_{3}$ 三点重合于点G，现给出下列五个结论：①SG⊥平面EFG；②SD⊥平面EFG；③GF⊥平面SEF；④EF⊥平面GSD；⑤GD⊥平面SEF．其中正确的是（）

A、①和③ B、②和⑤ C、①和④ D、②和④

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5. 若直线 $m x + n y = 4$ 和圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ 没有交点，则过点 $P (m ， n)$ 的直线与椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的交点个数为（）

A、2 B、1 C、0 D、0或1

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6. 已知F₁ ， F₂分别是椭圆 $E ： x^{2} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (0 < b < 1)$ 的左､右焦点，过点F₁的直线交椭圆E于A，B两点，若 $| A F_{1} | = 3 | B F_{1} |$ ，AF₂⊥x轴，则椭圆E的方程为（）

A、 $x^{2} + \frac{3 y^{2}}{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{3 y^{2}}{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{3} = 1$

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7. 若椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a>b>0)的离心率 $e = \frac{1}{2}$ ，右焦点为F(c，0)，方程ax²＋2bx＋c＝0的两个实数根分别是x₁ ， x₂ ，则点P(x₁ ， x₂)到原点的距离为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ C、2 D、 $\frac{7}{4}$

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8. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ 和双曲线 $\frac{y^{2}}{3} - x^{2} = 1$ 的公共焦点分别为F₁、F₂ ， P为这两条曲线的一个交点，则|PF₁|·|PF₂|的值等于（）

A、3 B、2 $\sqrt{3}$ C、3 $\sqrt{2}$ D、2 $\sqrt{6}$

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二、多选题

9. 下列四个命题中真命题是（）

A、若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行 B、若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直 C、垂直于同一直线的两条直线相互平行 D、若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直

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10. 在体积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，AB=1，BC=2，BD=3则CD的长可以是（）

A、 $\sqrt{7}$ B、 $\sqrt{19}$ C、7 D、19

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11. 若曲线 $y = 1 + \sqrt{4 - x^{2}}$ 与直线 $y = k (x - 2) + 4$ 有两个交点，则实数k的取值可以是（）

A、0.3 B、0.75 C、0.8 D、0.6

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12. 正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各条棱的长度均相等，D为AA₁的中点，M，N分别是线段BB₁和线段CC₁上的动点(含端点)，且满足BM=C₁N，当M，N运动时，下列结论正确的是（）

A、在△DMN内总存在与平面ABC平行的线段 B、平面DMN⊥平面BCC₁B₁ C、三棱锥A-DMN的体积为定值 D、△DMN可能为直角三角形

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三、填空题

13. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左､右焦点分别为F₁ ， F₂ ，以F₁F₂为直径的圆与双曲线的第一象限的交点为P.若∠PF₁F₂=30°，则该双曲线的离心率为.

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14. 如图，已知圆锥S0的母线SA的长度为2，一只蚂蚁从点B绕着圆锥侧面爬回点B的最短距离为2，则圆锥SO的底面半径为．

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15. 已知双曲线方程是x²－ $\frac{y^{2}}{2}$ ＝1，过定点P(2，1)作直线交双曲线于P₁、P₂两点，并使P(2，1)为P₁P₂的中点，则此直线方程是．

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16. 已知二面角 $α - l - β$ 为60°，动点P、Q分别在面 $α$ 、 $β$ 内，P到 $β$ 的距离为 $\sqrt{3}$ ，Q到 $α$ 的距离为 $2 \sqrt{3}$ ，则P、Q两点之间距离的最小值为．

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四、解答题

17. 已知点M(0，3)，N(-4，0)及点P(-2，4)；

(1)、若直线l经过点P且l $//$ MN，求直线l的方程；

(2)、求△MNP的面积.

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18. 如图，在空间几何体A-BCDE中，底面BCDE是梯形，且CD $//$ BE，CD=2BE=4，∠CDE=60°，△ADE是边长为2的等边三角形.

(1)、若F为AC的中点，求证：BF $//$ 平面ADE；

(2)、若AC=4，求证：平面ADE⊥平面BCDE.

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19.

(1)、求经过点A(5，2)，点B(3，2)，且圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程；

(2)、已知圆上的点C(2，3)关于直线x+2y=0的对称点仍在这个圆上，若该圆与直线x-y+1=0相交的弦长为 $2 \sqrt{2}$ ，求这个圆的方程.

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20. 已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中BC=1，CC₁=BB₁=2，AB= $\sqrt{2}$ ，∠BCC₁=60°，AB⊥侧面BB₁C₁C

(1)、求证：C₁B⊥平面ABC；

(2)、求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积，

(3)、试在棱CC₁(不包含端点C，C₁)上确定一点E，使得EA⊥EB₁；

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21. 如图，在组合体中，ABCD-A₁B₁C₁D₁是一个长方体，P-ABCD是一个四棱锥.AB=2，BC=3，点P∈平面CC₁D₁D且PD=PC= $\sqrt{2}$

(1)、证明：PD⊥平面PBC；

(2)、求直线PA与平面ABCD所成角的正切值；

(3)、若AA₁=a，当a为何值时，PC $//$ 平面AB₁D.

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22. 已知抛物线y²=2px(p>0)上的点T(3，t)到焦点F的距离为4.

(1)、求t，p的值；

(2)、设抛物线的准线与x轴的交点为M，是否存在过点M的直线l交抛物线于A，B两点(点B在点A的右侧)，使得直线AF与直线OB垂直？若存在，求出△AFB的面积，若不存在，请说明理由.

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