河北省邯郸市联盟校2020-2021学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-12-10 类型：期中考试

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一、单选题

1. 给出下列四个命题，其中正确的命题为（）

A、“一元二次方程有解”是必然事件 B、“飞机晚点”是不可能事件 C、“冬天会下雪”是必然事件 D、“购买的体育彩票能否中奖”是随机事件

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2. 抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 的准线方程为（）

A、 $x = - \frac{1}{16}$ B、 $x = \frac{1}{16}$ C、 $y = - 1$ D、 $y = 1$

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3. 一商店有奖促销活动中仅有一等奖､二等奖､鼓励奖三个奖项，其中中一等奖的概率为0.05，中二等奖的概率为0.16，中鼓励奖的概率为0.40，则不中奖的概率为（）

A、0.55 B、0.39 C、0.68 D、0.61

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4. 小张一星期的总开支分布如图①所示，一星期的食品开支如图②所示，则小张一星期的肉类开支占总开支的百分比约（）

A、10.00% B、8.00% C、5.00% D、4.00%

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5. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，过点 $F$ 作双曲线 $C$ 的两条渐近线的垂线，垂足分别为 $H_{1}, H_{2}$ ，若 $∠ H_{1} F H_{2} = 120^{\circ}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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6. 在某次测量中得到的A样本数据如下17，25，11，27，18，19，31，27，41，16，若，B样本数据恰好是A样本数据都减2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（）

A、平均数 B、众数 C、方差 D、中位数

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7. 如图，已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ， $P$ 为椭圆 $C$ 上一点， $P F_{2} ⊥ F_{1} F_{2}$ ，直线 $P F_{1}$ 与 $y$ 轴交于点 $Q$ ，若 $| O Q | = \frac{b}{4}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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8. 已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 相交于 $A$ ､ $B$ 两点，若 $| B F | = 3 | A F |$ ，则直线 $l$ 的方程为（）

A、 $y = \pm 2 (x - 1)$ B、 $y = \pm \frac{1}{2} (x - 1)$ C、 $y = \pm \sqrt{3} (x - 1)$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} (x - 1)$

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二、多选题

9. 下列命题中是真命题的是（）

A、“ $x > 1$ ”是“ $x^{2} > 1$ ”的充分不必要条件 B、命题“ $\forall x > 0$ ，都有 $\sin x ⩽ 1$ ”的否定是“ $\exists x_{0} > 0$ ，使得 $\sin x_{0} > 1$ ” C、数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{6}$ 的平均数为6，则数据 $2 x_{1} - 5, 2 x_{2} - 5, \dots, 2 x_{6} - 5$ 的平均数是6 D、当 $a = - 3$ 时，方程组 ${\begin{array}{l} 3 x - 2 y + 1 = 0 \\ a^{2} x - 6 y = a \end{array}$ 有无穷多解

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10. 已知 $x$ 与 $y$ 之间的几组数据如下表：

x

1

2

3

4

5

6

y

0

2

1

3

3

4

假设根据上表数据所得线性回归直线方程为 $\hat{y} = \hat{b} t + \hat{a}$ ，若某同学根据上表中的前两组数据 $(1 ， 0)$ 和 $(2 ， 2)$ 求得的直线方程为 $y = b^{'} x + a^{'}$ ，则以下结论正确的是（）

参考公式 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - b \bar{x}$ .

A、 $a^{'} = - 2$ B、 $b^{'} = 2$ C、 $\hat{b} > b^{'}$ D、 $\begin{array}{l} \hat{a} > a^{'} \end{array}$

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11. 已知抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的焦点为F，点A是抛物线上的动点，设点 $B (- 2 ， 0)$ ，当 $\frac{| A F |}{| A B |}$ 取得最小值时，则（）

A、 $A B$ 的斜率为 $\pm \frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $| A F | = 4$ C、 $△ A B F$ 内切圆的面积为 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2} π$ D、 $△ A B F$ 内切圆的面积为 $(24 - 16 \sqrt{2}) π$

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12. 设 $F_{1}, F_{2}$ 为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点，过左焦点 $F_{1}$ 且斜率为 $\frac{\sqrt{15}}{7}$ 的直线 $l$ 与 $C$ 在第一象限相交于一点 $P$ ，则下列说法正确的是（）

A、直线 $l$ 倾斜角的余弦值为 $\frac{7}{8}$ B、若 $| F_{1} P | = | F_{1} F_{2} |$ ，则 $C$ 的离心率 $e = \frac{4}{3}$ C、若 $| P F_{2} | = | F_{1} F_{2} |$ ，则 $C$ 的离心率 $e = 2$ D、 $△ P F_{1} F_{2}$ 不可能是等边三角形

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三、填空题

13. 甲、乙两人进行5轮投篮训练，每轮投篮10次，每轮投进的次数如下：
甲：7，7，9，7，8；

乙：4，5，7，9，9．

若甲的中位数为a，乙的众数为b，则 $b - a =$ ．

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14. 若双曲线 $3 x^{2} - y^{2} = m$ 的虚轴长为 $2$ ，则实数 $m$ 的值为.

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15. 为实现“两个一百年”的奋斗目标、实现中华民族伟大复兴的中国梦奠定坚实基础，某高校积极响应国家号召，不断加大拔尖人才的培养力度，据不完全统计：

年份	2016	2017	2018	2019
教师发表在省级刊物以上的文章篇数x	32	30	34	36
获得省级以上单位（或组织）颁奖的教师数y	52	48	57	59

根据上表可得回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中的 $\hat{b}$ 为1.9，此校2020年教师发表在省级刊物以上的文章篇数为40篇，据此模型预报该校今年获得省级以上单位（或组织）颁奖的教师数为（结果四舍五入，精确到个位）

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16. 椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上一点 $A$ 关于原点的对称点为 $B$ ， $F$ 为其右焦点，若 $A F ⊥ B F$ ，设 $∠ A B F = θ$ ，且 $θ \in [\frac{π}{4} ， \frac{5 π}{12}]$ ，则该椭圆离心率的取值范围为.

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四、解答题

17. 已知 $A = {x ∣ x^{2} - 2 x + 1 - a^{2} ⩾ 0}, B = {x ∣ x^{2} - 3 x - 10 > 0} . p : x \in A; q : x \in B$ ，若 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 从某歌唱比赛中抽取若干名选手的参赛成绩，绘制成如下的频率分布直方图．

(1)、求这些选手的平均成绩 $\bar{x}$ （同一组中数据用该组区间中点作代表）；

(2)、求这些选手的成绩的中位数．（精确到0.1）

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19. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{1}$ ，点 $P$ 为精圆 $C$ 上一点， $∠ F_{1} P F_{2} = 120^{\circ}$ ， $| P F_{1} | = 2 + \sqrt{3}, | P F_{2} | = 2 - \sqrt{3}$ |

(1)、求椭圆的方程 $C$ 方程；

(2)、求点 $P$ 的坐标.

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20. 为了监控一条生产线上的某种零件的生产过程，检验员每隔30min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尽寸(单位，cm)，下面是检脸员在一天内依次抽取的18个零件的尺寸：

抽取次序	1	2	3	4	5	6	7	8	9
零件尺寸	9.27	9.26	9.84	9.87	9.78	9.65	9.55	9.43	9.39
抽取次序	10	11	12	13	14	15	16	17	18
零件尺寸	9.36	9.42	9.77	9.83	9.93	9.34	9.82	9.95	9.33

零件尺寸在 $[9, 9.35)$ 内为一级；在 $[9.35, 9.75)$ 内为二级；在 $[9.75, 10]$ 丙为超标

(1)、求这18个数据中不超标数据的中位数；

(2)、在以上零件为一级的数据中，随机抽取2个数据，求其中恰有一个零件尺寸小于9.3的概率；

(3)、以这18个零件尺寸来估计该生产线的情况，若该生产线每日生产3600个零件，那么约有多少个零件超标.

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21. 已知抛物线 $C_{i} y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 过点 $(1, 1)$ ，

(1)、求物线 $C$ 的方程；

(2)、 $O$ 为坐标原点，A､B为抛物线C上异于原点 $O$ 的不同两点，直线 $O A, O B$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，若 $k_{1} k_{2} = - 2$ ，求证：直线 $A B$ 过定点.

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22. 如图，在平面直标 $x O y$ 中，椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $(\sqrt{2} ， - \frac{\sqrt{6}}{2}) ， (- \sqrt{3} ， - \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、点A为椭圆C的左顶点，过点A的直线与椭圆C交于x轴上方一点B，以AB为边作平行四边形ABCD，其中直线CD过原点 $O$ ，求平行四边形ABCD面积S的最大值；

(3)、在（2）的条件下，是否存在如下的平行四边形ABCD：“原点 $O$ 到直线AB的距离与线段AB的长度相等”，请说明理由.

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