福建省福州市八县（市)一中2020-2021学年高二上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2020-12-10 类型：期中考试

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一、单选题

1. 某单位有业务员和管理人员构成的职工160人，现用分层抽样方法从中抽取一个容量为20的样本，若样本中管理人员有7人，则该单位的职工中业务员有多少人（）

A、32人 B、56人 C、104人 D、112人

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2. 袋内装有8个红球、2个白球，从中任取2个，其中是互斥而不对立的两事件是（）

A、至少有一个白球；全部都是红球 B、至少有一个白球；至少有一个红球 C、恰有一个白球；恰有一个红球 D、恰有一个白球；全部都是红球

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3. 阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率 $π$ 等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆 $C$ 的中心为原点，焦点 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 在 $x$ 轴上，椭圆 $C$ 的面积为 $2 \sqrt{3} π$ ，且离心率为 $\frac{1}{2}$ ，则 $C$ 的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{12} + y^{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{3} = 1$

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4. 在区间 $[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ 上任取一个数k，使直线 $y = k (x + 3)$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 相交的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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5. 永泰县全域旅游地图如图所示，它的外轮廓线是椭圆，根据图中的数据可得该椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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6. 已知双曲线C： $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ (a>0，b>0)，斜率为 $1$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 交于不同的 $A, B$ 两点，且线段 $A B$ 的中点为P(2，4)，则双曲线的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm 2 x$ B、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ C、 $y = \pm \sqrt{2} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$

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7. 第七届世界军运会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行.某电视台在19日至24日六天中共有7场直播(如下表所示)，张三打算选取其中的三场观看.则观看的任意两场直播中间至少间隔一天(如第一场19日观看直播则20日不能观看直播)的概率是（）

日期	19日	20日	21日		22日	23日	24日
时间	全天	全天	上午	下午	全天	全天	全天
内容	飞行比赛	击剑	射击	游泳	篮球	定向越野	障碍跑

A、

\frac{8}{35}

B、

\frac{6}{35}

C、

\frac{1}{7}

D、

\frac{4}{35}

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8. 已知椭圆和双曲线有共同的焦点 $F_{1}, F_{2}$ ， $P, Q$ 分别是它们的在第一象限和第三象限的交点，且 $∠ Q F_{2} P = 60 °$ ，记椭圆和双曲线的离心率分别为 $e_{1}, e_{2}$ ，则 $\frac{3}{e_{1}^{2}} + \frac{1}{e_{2}^{2}}$ 等于（）

A、4 B、2 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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二、多选题

9. 某校对甲､乙两个数学兴趣小组的同学进行了知识测试，现从两兴趣小组的成员中各随机选取15人的测试成绩(单位：分)用茎叶图表示，如图，根据以上茎叶图，对甲､乙两兴趣小组的测试成绩作比较，下列统计结论正确的有（）

A、甲兴趣小组测试成绩的平均分高于乙兴趣小组测试成绩的平均分. B、甲兴趣小组测试成绩较乙兴趣小组测试成绩更分散. C、甲兴趣小组测试成绩的中位数大于乙兴趣小组测试成绩的中位数. D、甲兴趣小组测试成绩的众数小于乙兴趣小组测试成绩的众数.

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10. 下列说法中错误的是（）

A、“ $m = 8$ ”是“椭圆 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ”的充要条件 B、设 $x, y \in R$ ，命题“若 $x^{2} + y^{2} \neq 0$ ，则 $x y \neq 0$ ”是真命题； C、“ $- 4 < k < 2$ ”是“方程 $\frac{x^{2}}{4+ k} + \frac{y^{2}}{2 - k} = 1$ 表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件 D、命题“若 $x = 3$ ，则 $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ ”的否命题是真命题

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11. 某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量 $x$ (吨)与相应的生产能耗 $y$ (吨)的几组对应数据如表，现发现表中有个数据看不清，已知回归直线方程为 $\hat{y} = 6.3 x + 6.8$ ，下列说法正确的是（）

$x$

2

3

4

5

6

$y$

19

25

★

38

44

A、看不清的数据★的值为34 B、回归直线 $\hat{y} = 6.3 x + 6.8$ 必经过样本点(4，★) C、回归系数6.3的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗实际增加6.3吨 D、据此模型预测产量为7吨时，相应的生产能耗为50.9吨

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12. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a>0，b>0)的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，抛物线 $y^{2} = 4 \sqrt{5} x$ 的准线过双曲线的左焦点，A，B分别是双曲线C的左，右顶点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，记PA，PB的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、双曲线C的渐近线方程为y=±2x B、双曲线C的方程为 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ C、 $k_{1}$ $k_{2}$ 为定值 $\frac{1}{4}$ D、存在点P，使得 $k_{1}$ + $k_{2}$ =2

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三、填空题

13. 某印刷厂的工人师傅为了了解112个印张的质量，采用系统抽样的方法抽取若干个印张进行检查，为此先对112个印章进行编号为： $01, 02, 03, \dots, 112$ ，已知抽取的印张中最小的两个编号为 $05, 13$ ，则抽取的印张中最大的编号为.

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14. 已知命题“ $\exists x \in R, x^{2} + (a - 1) x + 1 \leq 0$ ”是真命题，则a的取值范围为.

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15. 如图所示，抛物线形拱桥的跨度是20米，拱高是4米，在建桥时，每隔4米需要用一支柱支撑，则其中最长的支柱的长度为米.

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四、双空题

16. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，抛物线的准线与 $x$ 轴的交点为 $K$ ，点 $A (2 ， 4)$ ，过点 $F$ 的动直线 $l$ 与抛物线交于 $M ， N$ 不同的两点，点 $M$ 在 $y$ 轴上的射影为点 $B$ ，设直线 $K M ， K N$ 的斜率分别为 $k_{1}$ 和 $k_{2}$ .则 $| M A | + | M B |$ 的最小值为， $k_{1} + k_{2}$ 的值为.

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五、解答题

17. 已知命题 $p :$ 对于任意 $x \in R$ ，不等式 $4 x^{2} - 4 (m - 2) x + 1 > 0$ 恒成立.命题 $q :$ 实数 $m$ 满足的方程 $\frac{x^{2}}{m - 2 a} + \frac{y^{2}}{m - a} = 1 (a > 0)$ 表示双曲线.

(1)、当 $a = 2$ 时，若“ $p$ 或 $q$ ”为真，求实数 $m$ 的取值范围.

(2)、若 $\neg p$ 是 $\neg q$ 的充分不必要条件，求 $a$ 的取值范围.

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18. 已知双曲线C的离心率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，点 $(2 \sqrt{3}, 1)$ 在双曲线上，且抛物线 $y^{2} = 2 p x$ $(p > 0)$ 的焦点F与双曲线的一个焦点重合.

(1)、求双曲线和抛物线的标准方程；

(2)、过焦点F作一条直线l交抛物线于A，B两点，当直线l的斜率为 $\sqrt{3}$ 时，求线段 $A B$ 的长度.

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19. 小张准备在某县城开一家文具店，为经营需要，小张对该县城另一家文具店中的某种水笔在某周的周一至周五的销售量及单支售价进行了调查，单支售价x元和销售量y支之间的数据如下表所示：

星期	1	2	3	4	5
单支售价x(元)	1.4	1.6	1.8	2	2.2
销售量y(支)	13	11	7	6	3

(其中：回归直线方程 $\hat{y} = b x + a$ ， $b = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 67$ ， $\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} = 16.6$ )

(1)、根据表格中的数据，求出y关于x的回归直线方程；

(2)、请由（1）所得的回归直线方程预测销售量为18支时，单支售价应定为多少元？如果一支水笔的进价为0.56元，为达到日利润(日销售量×单支售价-日销售量×单支进价)最大，在（1）的前提下应该如何定价？

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20. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ( $a > b > 0$ )的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，焦距为2，且经过点 $Q$ $(- 1 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ .直线 $l$ 过右焦点且不平行于坐标轴， $l$ 与椭圆 $C$ 有两个不同的交点 $A$ ， $B$ ，线段 $A B$ 的中点为 $M$ .

(1)、点 $P$ 在椭圆 $C$ 上，求 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}}$ 的取值范围；

(2)、证明：直线 $O M$ 的斜率与直线 $l$ 的斜率的乘积为定值；

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21. 为让学生适应新高考的赋分模式某校在一次校考中使用赋分制给高二年段学生的生物成绩进行赋分，具体方案如下：
A等级，排名等级占比7%，分数区间是83-100；

B等级，排名等级占比33%，分数区间是71-82；

C等级，排名等级占比40%，分数区间是59-70；

D等级，排名等级占比15%，分数区间是41-58；

E等级，排名等级占比5%，分数区间是30-40；

现从全年段的生物成绩中随机抽取100名学生的原始成绩(未赋分)进行分析，其频率分布直方图如图所示：

(1)、求图中a的值；

(2)、以样本估计总体的办法，估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的C等级及以上(含C等级)？

(3)、若采用分层抽样的方法，从原始成绩在[40，50)和 $[50 ， 60)$ 内的学生中共抽取5人，查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏，再从中选取2人进行调查分析，求这2人中至少一人原始成绩在[40，50)内的概率.

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22. 如图所示，已知圆 $F_{1} ： {(x + 1)}^{2} + y^{2} = 16$ 上有一动点 $Q$ ，点 $F_{2}$ 的坐标为 $(1 ， 0)$ ，四边形 $Q F_{1} F_{2} R$ 为平行四边形，线段 $F_{1} R$ 的垂直平分线交 $F_{2} R$ 于点 $P$ ，设点 $P$ 的轨迹为曲线 $C$ .

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、过点 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与曲线 $C$ 有两个不同的交点 $A$ 、 $B$ ，问是否存在实数 $λ$ ，使得 $| A F_{2} | + | B F_{2} | = λ | A F_{2} | \cdot | B F_{2} |$ 成立，若存在求出 $λ$ 的值；若不存在，请说明理由.

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$x$	2	3	4	5	6
$y$	19	25	★	38	44