江西省赣州市十五县（市)十六校2020-2021学年高二上学期理数期中联考试卷

试卷更新日期：2020-12-10 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若两个变量 $x, y$ 是线性相关的，且样本 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, \dots, n)$ 的平均点为 $(3, 2.5)$ ，则这组样本数据算得的线性回归方程不可能是（）

A、 $y = 0.5 x + 1$ B、 $y = 0.6 x + 0.7$ C、 $y = 0.2 x + 1.9$ D、 $y = x - 1.5$

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2. 已知直线 $x + m y + m + 8 = 0$ 与直线 $(m + 1) x + 2 y - 6 = 0$ 平行，则实数 $m =$ （）

A、1或-2 B、-2 C、1 D、-2或3

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3. 一组数据中的每一个数据都乘以3，再减去50，得到一组新数据，若求得新的数据的平均数是1.6，方差是3.6，则原来数据的平均数和方差分别是（）

A、17.2，3.6 B、54.8，3.6 C、17.2，0.4 D、54.8，0.4

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4. 某几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图是腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体的体积等于（）

A、 $\frac{8}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、2 D、 $\frac{4}{3}$

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5. 已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中所有棱长都相等，E、F分别为 $B_{1} C_{1}$ 、 $B B_{1}$ 的中点，求异面直线 $A_{1} C_{1}$ 与 $E F$ 所成角的余弦值（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{14}}{4}$ C、 $- \frac{\sqrt{14}}{4}$ D、 $- \frac{\sqrt{2}}{4}$

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6. 若向量 $\vec{a} = (\cos θ, \sin θ), \vec{b} = (- 1, 1)$ ，则 $| 2 \vec{a} - \vec{b} |$ 的取值范围是（）

A、 $[6 - 4 \sqrt{2}, 6 + 4 \sqrt{2}]$ B、 $[1, 2]$ C、 $[2 - \sqrt{2}, 2 + \sqrt{2}]$ D、 $[0, \sqrt{2}]$

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7. 点 $A (- 2 ， - 1) ， B (2 ， 0)$ ，直线 $a x + y - 2 = 0$ 与线段 $A B$ 相交，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a \geq \frac{3}{2}$ 或 $a \leq - 1$ B、 $a \leq - \frac{3}{2}$ 或 $a \geq 1$ C、 $- \frac{3}{2} \leq a \leq 1$ D、 $- 1 \leq a \leq \frac{3}{2}$

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8. 庚子新春，病毒肆虐，某老师为了解某班41个同学宅家学习期间上课、休息等情况，决定将某班学生编号为01，02，…，41.利用下面的随机数表选取10个学生调查，选取方法是从下面随机数表的第1行的第2列和第3列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个学生的编号为（）

7256	0813	0258	3249	8702	4812	9728	0198
3104	9231	4935	8209	3624	4869	6938	7481

A、25 B、24 C、29 D、19

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9. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $\frac{2}{x + 1} + \frac{1}{y} = 2$ ，若 $x + 2 y > m^{2} - 3 m - 1$ 恒成立，则实数m的取值范围是（）

A、 $m \leq - 1$ 或 $m \geq 4$ B、 $m \leq - 4$ 或 $m \geq 1$ C、 $- 1 < m < 4$ D、 $- 4 < m < 1$

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10. 已知 $a = {0.5}^{0.8}$ ， $b = {0.5}^{0.9}$ ， $c = \log_{5} 0.8$ ， $d = \log_{0.8} 0.5$ ，则执行如图所示的程序框图，输出的x值等于（）.（结果用 $a ， b ， c ， d$ 表示）

A、a B、b C、c D、d

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11. 已知圆 $C : x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ ，点 $A (3, 0)$ 在直线 $l$ 上，过直线 $l$ 上的任一点 $P$ 引圆 $C$ 的两条切线，若切线长的最小值为2，则直线 $l$ 的斜率 $k =$ （）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、-2或 $\frac{1}{2}$ D、2或 $- \frac{1}{2}$

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12. 圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形 $S A B$ ， $O$ 为底面中心， $A B$ 是底面的一条直径，M为 $S O$ 的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）.若 $A M ⊥ M P$ ，则点P形成的轨迹的长度为（）

A、 $\sqrt{7}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、3 D、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$

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二、填空题

13. 雷神山医院从开始设计到建成完工，历时仅十天.完工后，新华社记者要对部分参与人员采访，决定从600名机械车操控人员，320名管理人员和n名工人中按照分层抽样的方法抽取35人，若从工人中抽取的人数为7人，则 $n =$ .

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14. 在等腰直角三角形 $A B C$ 中， $∠ C = \frac{π}{2}, C A = \sqrt{2}$ ，D为 $A B$ 的中点，将 $△ B C D$ 沿 $C D$ 翻折，使点A与点B间的距离为 $\sqrt{3}$ ，此时四面体 $A B C D$ 的外接球的体积为.

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 6, a_{n + 1} = a_{n} + 2 n$ ，则 $\frac{a_{n}}{n}$ 的最小值为.

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16. 已知P为 $| x | + | y | = m$ 上的点，过点P作圆O： $x^{2} + y^{2} = 1$ 的切线，切点为M、N，若使得 $∠ M P N = 90 °$ 的点P有8个，则m的取值范围是.

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三、解答题

17. 直线 $l_{1} : a^{2} x + y + 2 a = 0$ ， $l_{2} : x + a y + 1 = 0$ ，圆 $C : x^{2} + y^{2} - 6 y + 5 = 0$ .

(1)、当 $a$ 为何值时，直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 垂直；

(2)、若圆心C在直线 $l_{2}$ 的左上方，当直线 $l_{2}$ 与圆C相交于P，Q两点，且 $P Q = 2 \sqrt{2}$ 时，求直线 $l_{2}$ 的方程.

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18. 2020年5月28日，十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》，此法典被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第一部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性地位，也是市场经济的基本法.民法典与百姓生活密切相关，某学校有800名学生，为了解学生对民法典的认识程度，选取了100名学生进行测试，制成如图所示频率分布直方图.

(1)、求m的值；

(2)、估计抽查学生测试成绩的中位数；（结果用分数形式表示）

(3)、如果抽查的测试平均分超过75分，就表示该学校通过测试，试判断该校能否通过测试.

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19. 如图，三棱锥 $P - A B C$ 中，底面 $△ A B C$ 是等腰直角三角形， $A B = B C = P A = 2$ ， $P A ⊥$ 底面 $A B C$ ，点E为 $A C$ 的中点，F为 $P C$ 上任一点.

(1)、求证：平面 $B E F ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若 $\frac{P F}{F C} = \frac{1}{2}$ ，且 $G F //$ 平面 $A B C$ ，求三棱锥 $P - A E G$ 体积.

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20. 函数 $f (x) = \sin^{2} x + \sqrt{3} \sin x \cos x - 2 \cos^{2} x + 1$

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ， $f (C) = 2$ 且 $C \neq \frac{π}{2}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $c$ 的最小值.

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21. 如图所示正四棱锥 $S - A B C D$ ， $S A = S B = S C = S D = 2 ， A B = \sqrt{2}$ ，P为侧棱 $S D$ 上的点.

(1)、求证： $A C ⊥ S D$ ；

(2)、若 $S_{△ S A P} = 3 S_{△ A P D}$ ，侧棱 $S C$ 上是否存在一点 $E$ ，使得 $B E$ ∥ 平面 $P A C$ .若存在，求 $\frac{S E}{E C}$ 的值；若不存在，试说明理由.

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22. 已知圆 $C ： x^{2} - 6 x + y^{2} - 6 y + 3 = 0$ ，直线 $l ： x + y - 2 = 0$ 是圆 $E$ 与圆 $C$ 的公共弦 $A B$ 所在直线方程，且圆 $E$ 的圆心在直线 $y = 2 x$ 上.

(1)、求圆 $E$ 的方程；

(2)、过点 $Q (- 2 ， 0)$ 分别作直线 $M N$ 、 $R S$ ，交圆 $E$ 于 $M$ 、 $N$ 、 $R$ 、 $S$ 四点，且 $M N ⊥ R S$ ，求四边形 $M R N S$ 面积的取值范围.

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