河南省焦作市2020-2021学年高二上学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2020-12-10 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若 $a < b < 0$ ，则下列不等式中不正确的是（）

A、 $a b > b^{2}$ B、 $a b < a^{2}$ C、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、 $\frac{1}{a^{2}} < \frac{1}{b^{2}}$

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2. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{n} = \frac{n + 2}{n + 1}$ ，则 ${a_{n}}$ （）

A、是常数列 B、不是单调数列 C、是递增数列 D、是递减数列

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3. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $\cos C = \frac{c}{b} \cos B$ ，则 $△ A B C$ 一定是（）

A、等腰三角形 B、等边三角形 C、直角三角形 D、钝角三角形

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4. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = 2$ ， $S_{3} = 15$ ，则 $a_{8} =$ （）

A、11 B、12 C、23 D、24

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5. 设 $0 < a < b < 1$ 且 $a + b = 1$ ，则下列四个式子中最小的是（）

A、 $a$ B、 $b$ C、 $2 a b$ D、 $a^{2} + b^{2}$

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6. 在区间 $(- 10, 10)$ 内任取一数 $x$ ，则满足 $\log_{2} x < 2$ 的概率为（）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{2}$

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7. 已知三角形的三边长分别为3，4， $x$ ，若该三角形是钝角三角形，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(\sqrt{7}$ ， $7)$ B、 $(5, 7)$ C、 $(0$ ， $\sqrt{7}) \cup (5$ ， $+ \infty)$ D、 $(1$ ， $\sqrt{7}) \cup (5$ ， $7)$

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8. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} - a_{n + 1} a_{n} = 1 + a_{n}$ ，且 $a_{1} = \frac{1}{3}$ ，则 ${a_{n}}$ 的前2021项之积为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、-2 D、-3

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9. 已知圆 $C : x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 15 = 0$ 与直线 $l : x - 2 y - a = 0$ 相切，则 $a =$ （）

A、7 B、13 C、7或-13 D、13或-7

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10. 在直角 $△ A B C$ 中， $C = 90 °$ ， $A B = 4$ ， $O$ 是线段 $A B$ 的中点， $P$ 为线段 $O C$ 上的动点，则 $(\vec{P A} + \vec{P B}) \cdot \vec{P C}$ 的最小值为（）

A、-4 B、 $- \frac{7}{2}$ C、-2 D、 $- \frac{1}{2}$

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - x + 1 ， x < 1 \\ \frac{1}{x} ， x ⩾ 1 \end{array}$ ，若函数 $y = f (x) - a$ 有三个零点，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{3}{4}$ ， $1]$ B、 $(\frac{3}{4}$ ， $1)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(\frac{3}{4}$ ， $+ \infty)$

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12. 设 $a$ ， $b \neq 0$ ，数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = a (2^{n} - 1) - b [(n - 2) \times 2^{n} + 2]$ ， $n \in N *$ ，则存在数列 ${b_{n}}$ 和 ${c_{n}}$ 使得（）

A、 $a_{n} = b_{n} + c_{n}$ ，其中 ${b_{n}}$ 和 ${c_{n}}$ 都为等比数列 B、 $a_{n} = b_{n} + c_{n}$ ，其中 ${b_{n}}$ 为等差数列， ${c_{n}}$ 为等比数列 C、 $a_{n} = b_{n} \cdot c_{n}$ ，其中 ${b_{n}}$ 和 ${c_{n}}$ 都为等比数列 D、 $a_{n} = b_{n} \cdot c_{n}$ ，其中 ${b_{n}}$ 为等差数列， ${c_{n}}$ 为等比数列

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二、填空题

13. 已知实数 $x$ 、 $y$ 满足 ${\begin{array}{l} x + y - 4 \leq 0 \\ 4 x - y \geq 0 \\ y + 4 \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = 2 x + y$ 的最大值为.

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14. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = 4^{n + 1} + a$ ，则实数 $a =$ .

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15. 已知 $Δ A B C$ 不是直角三角形， $C = 45 °$ ，则 $(1 - \tan A) (1 - \tan B) =$ .

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16. 2020年夏天，国内多地出现洪涝灾情，某地一处长 $100 m$ 的堤坝需要用土方进行填筑加固，计划将背水坡的坡度由原来的75°改为45°（如图所示），其中背水坡长 $A B$ 为 $6 m$ ，则加固这段堤坝需要使用的土方量为 $m^{3}$ .

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = m x^{2} - 2 n x - 1$ .

(1)、若不等式 $f (x) < 0$ 的解集为 $(- 1, 3)$ ，求 $m$ ， $n$ ；

(2)、设不等式 $f (x) ⩾ 0$ 的解集为 $A$ ，若 $1 \in A$ ， $- 2 \notin A$ ，求 $m + 2 n$ 的取值范围.

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18. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = 5 a_{n} - 4 n + 1$ ， $n \in N *$ .

(1)、证明：数列 ${a_{n} - n}$ 是等比数列；

(2)、求 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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19. 如图所示，在四面体 $A B C D$ 中，点 $P$ ， $Q$ ， $R$ 分别为棱 $B C$ ， $B D$ ， $A D$ 的中点， $A B ⊥ B D$ ， $A B = 2$ ， $P R = \sqrt{3}$ ， $C D = 2 \sqrt{2}$ .

(1)、证明： $C D / /$ 平面 $P Q R$ ；

(2)、证明：平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ .

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20. 已知函数 $f (x) = \sin x (\sin x + \sqrt{3} \cos x) - 1$ .

(1)、若 $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，且 $\sin α = \frac{1}{2}$ ，求 $f (α)$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期及单调递增区间.

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21. 在 $Δ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，已知 $\frac{3 b - 2 a}{c} = \frac{2 \cos A - 3 \cos B}{\cos C}$ .

(1)、求 $\frac{\sin A}{\sin B}$ 的值；

(2)、若 $\cos C = - \frac{1}{4}$ ， $c = 8$ ，求 $Δ A B C$ 的面积.

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22. 已知数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ ， ${c_{n}}$ 满足 $a_{1} = b_{1} = c_{1} = 1$ ， $c_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$ ， $c_{n + 1} = \frac{b_{n}}{b_{n + 2}} c_{n}$ ， $n \in N *$ .

(1)、若 ${b_{n}}$ 为等比数列，公比 $q > 0$ ，且 $6 b_{1} + b_{2} = 2 b_{3}$ ，求 $q$ 的值及数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 ${b_{n}}$ 为等差数列，且 $b_{2} + b_{6} = 5$ ，证明 $c_{1} + c_{2} + c_{3} + \dots + c_{n} < 3$ ， $n \in N *$ .

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