北京四中2020—2021学年度高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-12-09 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知全集为 $U$ ，集合 $A = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ， $B = {- 3 ， 2}$ ，则图中阴影部分表示的集合为（）

A、{3} B、 ${- 3 ， 2}$ C、{2} D、 ${- 2 ， 3}$

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2. 不等式 $\frac{x - 2}{x + 1} \leq 0$ 的解集是（）

A、 $(- \infty ， - 1) \cup (- 1 ， 2]$ B、 $[- 1 ， 2]$ C、 $(- \infty ， - 1) \cup [2 ， + \infty)$ D、 $(- 1 ， 2]$

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3. 下列函数中，在区间（0，+∞）上为减函数的是（）

A、y＝x²﹣2x B、y＝|x| C、y＝2x+1 D、 $y = - \sqrt{x}$

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4. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 5 x + 1$ ，则下列区间中一定包含 $f (x)$ 零点的区间是（）

A、 $(- 2, - 1)$ B、 $(- 1, 0)$ C、 $(0, 1)$ D、 $(1, 2)$

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5. 若函数 $f (x)$ 是偶函数，且在区间 $[0, 3]$ 上单调递减，则（）

A、 $f (- 1) > f (2) > f (3)$ B、 $f (3) > f (- 1) > f (2)$ C、 $f (2) > f (- 1) > f (3)$ D、 $f (3) > f (2) > f (- 1)$

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6. 已知 $x_{1}, x_{2}$ 是方程 $x^{2} - \sqrt{7} x + 1 = 0$ 的两根，则 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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7. 设 $a, b \in R$ ，且 $a > b$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $\frac{a}{b} > 1$ B、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、 $| a | > | b |$ D、 $a^{3} > b^{3}$

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8. “ $a = 2$ ”是“函数 $f (x) = | x - a |$ 在区间 $[2, + \infty)$ 上为增函数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9. 向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t变化的函数h＝f(t)的图象如图所示，则杯子的形状是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y＝x²＋1，值域为{1，3}的同族函数有（）．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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11. 已知非零实数 $a, b, c$ 满足： $a > b > c$ ，下列不等式中一定成立的有（）
① $a b > b c$ ；② $a c^{2} \geq b c^{2}$ ；③ $\frac{a + b}{c} > \frac{a - b}{c}$ .

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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12. 已知 $a$ 、 $b \in R$ ，则“ $a + b = 0$ ”是“ $a^{3} + a^{2} b - a^{2} - a b + a + b = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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13. 已知 $\min {a ， b} = {\begin{matrix} a ， a \leq b ； \\ b ， a > b . \end{matrix}$ 设 $f (x)$ $= \min {- x + 6 ， - 2 x^{2} + 4 x + 6}$ ，则函数 $f (x)$ 的最大值是（）

A、8 B、7 C、6 D、5

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二、双空题

14. 设全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | x < 2},$ 集合 $B = {x | x < 1}$ ，则集合 $∁_{U} A =$ ，集合 $(∁_{U} A) \cup B =$ .

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15. 函数 $f (x) = x + \frac{1}{x - 1}$ $(x > 1)$ 的最小值是，此时 $x =$ .

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16. 若函数 $f (x) = x^{2} - | x + a |$ 为偶函数，则实数 $a =$ ，函数 $f (x)$ 的单调递增区间是.

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三、填空题

17. 命题“ $\forall x < 1, \frac{1}{x} > 1$ ”的否定是.

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18. 某班共38人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，16人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为.

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19. 能够说明“设 $a, b, c$ 是任意实数,若 $a > b > c$ ,则 $a + b > c$ ”是假命题的一组整数 $a, b, c$ 的值依次为.

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20. 某学校运动会上，6名选手参加100米决赛.观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜测：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1､2､6道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4､5､6道的选手都不可能得第一名.比赛后发现并没有并列名次，且甲､乙､丙､丁中只有1人猜对比赛结果，则此人是.

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21. 已知关于 $x$ 的不等式 $a x + \frac{3}{x} \leq 2 a$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上有解，则实数 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题

22. 已知 $a > 0$ ，记关于 $x$ 的不等式 $(x - a) (x + 1) < 0$ 的解集为 $P$ ，不等式 $| x - 1 | \leq 1$ 的解集为 $Q$ .

(1)、若 $a = 3$ ，求集合 $P$ ；

(2)、若 $Q \subseteq P$ ，求 $a$ 的取值范围.

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23. 已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x) = \frac{x + m}{x^{2} + 1}$ $, m \in R$ .

(1)、求 $m$ ；

(2)、用定义证明： $f (x)$ 在区间 $[1, + \infty)$ 上单调递减；

(3)、若实数 $a$ 满足 $f (a^{2} + 2 a + 2) < \frac{2}{5}$ ，求 $a$ 的取值范围.

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24. 二次函数 $f (x)$ 满足 $f (0) = 1$ ，再从条件①和条件②两个条件中选择一个作为已知，求：

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、在区间 $[- 1, 1]$ 上，函数 $f (x)$ 的图像总在一次函数 $y = 2 x + m$ 图像的上方，试确定实数m的取值范围.
条件①： $f (x + 1) - f (x) = 2 x$ ；

条件②：不等式 $f (x) < x + 4$ 的解集为 $(- 1, 3)$ .

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

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25. 区间 $[α, β]$ 的长度定义为 $β - α$ .函数 $f (x) = (1 + a^{2}) x^{2} - a x$ ，其中 $a > 0$ ，区间 $I = {x | f (x) \leq 0}$ .

(1)、求 $I$ 的长度；

(2)、求 $I$ 的长度的最大值.

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26. 若函数 $f (x)$ 的定义域为 $D$ ，集合 $M \subseteq D$ ，若存在非零实数 $t$ 使得任意 $x \in M$ 都有 $x + t \in D$ ，且 $f (x + t) > f (x)$ ，则称 $f (x)$ 为 $M$ 上的 $t -$ 增长函数.

(1)、已知函数 $g (x) = x$ ，函数 $h (x) = x^{2}$ ，判断 $g (x)$ 和 $h (x)$ 是否为区间 $[- 1, 0]$ 上的 $\frac{3}{2} -$ 增长函数，并说明理由；

(2)、已知函数 $f (x) = | x |$ ，且 $f (x)$ 是区间 $[- 4, - 2]$ 上的 $n$ $-$ 增长函数，求正整数 $n$ 的最小值；

(3)、请在以下两个问题中任选一个作答：(如果两问都做，按（i）得分计入总分)
（i）如果对任意正有理数 $q$ ， $f (x)$ 都是 $R$ 上的 $q$ $-$ 增长函数，判断 $f (x)$ 是否一定为 $R$ 上的单调递增函数，并说明理由；

（ii）如果 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = | x - a^{2} | - a^{2}$ ，且 $f (x)$ 为 $R$ 上的 $4$ $-$ 增长函数，求实数 $a$ 的取值范围.

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