天津市南开区2020-2021学年高三上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-12-09 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x \geq 1}$ ， $B = {- 3, - 1, 1, 3}$ ，那么 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 ${1, 3}$ C、 ${- 3, - 1}$ D、 ${- 3, - 1, 1}$

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2. 命题“ $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} + 2 x_{0} + 2 \leq 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x_{0} \notin R$ ， $x_{0}^{2} + 2 x_{0} + 2 \leq 0$ B、 $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} + 2 x_{0} + 2 > 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 2 x + 2 \leq 0$ D、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 2 x + 2 > 0$

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3. 已知i为虚数单位，复数 $z = \sin \frac{7 π}{6} - i c o s \frac{7 π}{6}$ ，则z在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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4. 设 $a \in R$ ，则“ $a^{2} - 9 a < 0$ ”是“ $a < 9$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分又不必要条件

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5. 函数 $y = \frac{2 x^{3}}{2^{x} + 2^{- x}}$ 在 $[- 6 ， 6]$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知 $a = l o g_{3} 2$ ， $b = l o g_{7} 2$ ， $c = {0.5}^{a - 2}$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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7. 将函数 $f (x) = \sin (x + \frac{π}{6})$ 图象上每一点的横坐标变为原来的2倍，再将图像向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，则函数 $y = g (x)$ 图象的一个对称中心为（）

A、 $(\frac{π}{12} ， 0)$ B、 $(\frac{π}{4} ， 0)$ C、 $(π ， 0)$ D、 $(\frac{4 π}{3} ， 0)$

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8. 某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=e^kx+b(e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是（）

A、16小时 B、20小时 C、24小时 D、28小时

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9. 在 $Δ A B C$ 中， $A B = 3$ ， $A C = 5$ ，点 $N$ 满足 $\overset{⇀}{B N} = 2 \overset{⇀}{N C}$ ，点 $O$ 为 $Δ A B C$ 的外心，则 $\overset{⇀}{A N} \cdot \overset{⇀}{A O}$ 的值为（）

A、17 B、10 C、 $\frac{17}{2}$ D、 $\frac{59}{6}$

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二、填空题

10. 设 $\bar{z} = 4 - 3 i$ (i是虚数单位)，则 $\frac{1}{z} =$ .

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11. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{1 - \sqrt{x}} + \frac{1}{1 + \sqrt{x}}$ ，则 $f (x)$ 在 $x = 2$ 处的导数 $f^{'} (2) =$ .

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12. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} = (1, - 2)$ ， $\vec{b} = (- 3, t)$ ，且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，则 $| \vec{b} | =$ .

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13. 已知实数 $a, b$ 满足 $a b > 0$ ，则 $\frac{a}{a + b} - \frac{a}{a + 2 b}$ 的最大值为

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三、双空题

14. 若 $\sin α + 2 \cos α = 0$ ，则 $\tan α =$ ； $\tan 2 α =$ .

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | x | ， x \leq m \\ x^{2} - 2 m x + 4 m ， x > m \end{array}$ ，其中 $m > 0$ .若 $f (x)$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增，则m的取值范围是；若存在实数b，使得关于x的方程 $f (x) = b$ 有三个不同的根，则m的取值范围是.

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四、解答题

16. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知 $\sin A : \sin B : \sin C = 7 : 8 : 3$ .

(1)、求角A；

(2)、求 $\cos (2 B - A)$ 的值.

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17. 已知函数 $f (x) = 2 | x - 2 | + a x (x \in R)$ .

(1)、若 $f (a) = 3$ ，求实数a的值；

(2)、若 $f (x)$ 有最小值，求实数a的取值范围；

(3)、设 $g (x)$ 为定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x < 0$ 时， $g (x) = f (x)$ ，求 $g (x)$ 的解析式.

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18. 已知函数 $f (x) = 2 \sin^{2} x + 2 \sqrt{3} \sin (π - x) \sin (x + \frac{π}{2}) (x \in R)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求 $f (x)$ 的单调递减区间；

(3)、求 $f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{2 π}{3}]$ 上的取值范围.

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19. 设函数 $f (x) = 2 x^{3} - 3 (a + 1) x^{2} + 6 a x + b$ ，其中 $a ， b \in R$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在 $(- 1 ， f (- 1))$ 的切线方程为 $y = 12 x + 3$ ，求a，b的值；

(2)、若 $f (x)$ 在 $x = 3$ 处取得极值，求a的值；

(3)、若 $f (x)$ 在 $(- \infty ， 0)$ 上为增函数，求a的取值范围.

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20. 设函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x}$ ， $g (x) = \ln x + \frac{1}{x}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若直线 $x = m (m > 0)$ 与曲线 $y = f (x)$ 和曲线 $y = g (x)$ 分别交于点 $P$ 和 $Q$ ，求 $| P Q |$ 的最小值；

(3)、设函数 $F (x) = x f (x) [a + g (x)]$ ，当 $a \in (0 ， \ln 2)$ 时，证明： $f (x)$ 存在极小值点 $x_{o}$ ，且 $e^{x_{0}} (a + \ln x_{0}) < 0$ .

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