北京市朝阳区2021届高三上学期数学期中质量检测试卷

试卷更新日期：2020-12-09 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - x - 2 \leq 0}$ ， $B = {- 1, 0, 1, 2, 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1, 0, 1}$ B、 ${- 1, 0, 1, 2}$ C、 ${0, 1, 2}$ D、 ${0, 1, 2, 3}$

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2. 已知 $x \in (0, \frac{π}{2}), \sin (\frac{π}{2} - x) = \frac{3}{5},$ 则sin2x=（）

A、 $\frac{12}{25}$ B、 $\frac{24}{25}$ C、 $- \frac{12}{25}$ D、 $- \frac{24}{25}$

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3. 已知 $a = 2^{- \frac{1}{3}}$ ， $b = {log}_{2} \frac{1}{3}$ ， $c = {log}_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3}$ ，则（）．

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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4. 如图，在△ABC中，D是BC的中点.若 $\vec{A B} = \vec{a} ， \vec{A D} = \vec{b} ，$ 则 $\vec{A C} =$ （）

A、 $3 \vec{a} - 2 \vec{b}$ B、 $\vec{a} - 2 \vec{b}$ C、 $- \vec{a} + 2 \vec{b}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$

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5. “lna>lnb”是“ $3^{a} > 3^{b}$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知函数 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin ω x - \frac{1}{2} \cos ω x (ω > 0)$ 的图象与直线y=1的相邻两个交点间的距离等于π，则f(x)的图象的一条对称轴是（）

A、 $x = - \frac{π}{12}$ B、 $x = \frac{π}{12}$ C、 $x = - \frac{π}{3}$ D、 $x = \frac{π}{3}$

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7. 在△ABC中，AB=4，AC=3，且 $| \vec{A B} + \vec{A C} | = | \vec{A B} - \vec{A C} | ，$ 则 $\vec{B C} \cdot \vec{C A} =$ （）

A、-12 B、-9 C、9 D、12

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8. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x∈( $-$ ∞，0]时， $f (x) = 2^{x} + \frac{1}{3},$ 则 $f (\log_{2} \frac{3}{2}) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{7}{7}$ D、 $\frac{11}{11}$

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9. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | x + 1 | ， - 7 \leq x < e^{- 2} ， \\ \ln x ， e^{- 2} \leq x \leq e . \end{array}$ 若存在实数m，使得 $f (m) = 2 a^{2} - 4 a$ 成立，则实数a的取值范围是（）

A、[-1，+∞) B、(-∞，-1]∪[3，+∞) C、[-1，3] D、(-∞，3]

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10. 已知奇函数f(x)的定义域为 $(- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}) ，$ 且 $f^{'} (x)$ 是f(x)的导函数.若对任意 $x \in (- \frac{π}{2} ， 0) ，$ 都有 $f^{'} (x) \cos x + f (x) \sin x < 0 ，$ 则满足 $f (θ) < 2 \cos θ \cdot f (\frac{π}{3})$ 的θ的取值范围是（）

A、 $(- \frac{π}{2} ， \frac{π}{3})$ B、 $(- \frac{π}{2} ， - \frac{π}{3}) \cup (\frac{π}{3} ， \frac{π}{2})$ C、 $(- \frac{π}{3} ， \frac{π}{3})$ D、 $(\frac{π}{3} ， \frac{π}{2})$

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二、填空题

11. 已知向量 $\vec{a} = (3, 1)$ ， $\vec{b} = (t, 2)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则实数 $t =$ .

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12. 设 ${a_{n}}$ 是公差为d的等差数列， $S_{n}$ 为其前n项和.能说明“若d>0，则数列 ${S_{n}}$ 为递增数列”是假命题的一组 $a_{1}$ 和 $d$ 的值为.

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13. 公元前2世纪的古希腊天文学家和数学家希帕科斯是三角学的创立者之一，他因天文观测的需要编制了有关三角比率的表格.后人推测希帕科斯在编制表格的过程中本质上使用了公式 $\sin^{2} \frac{α}{2} = \frac{1 - \cos α}{2} .$ 如图是希帕科斯推导此公式时使用的几何图形，已知点B在以线段AC为直径的圆O上，D为弧BC的中点，点E在线段AC上且AE=AB，点F为EC的中点.设OA= $r ， ∠ D O C = α .$ 给出下列四个结论：① $C D = 2 r \sin \frac{α}{2}$ ②AB=2rsinα；③CF=r(1-cosα)； ④ $C D^{2} = 2 r^{2} (1 - \cos α) .$ 其中，正确结论的序号是.

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三、双空题

14. 已知 $x > 0, y > 0, x y = 1$ ，则 $x + 4 y$ 的最小值为，此时x的值为.

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15. 在一个房间使用某种消毒剂后，该消毒剂中的某种药物含量y(mg/m³)随时间t(h)变化的规律可表示为 $y = {\begin{array}{l} a t ， 0 < t < \frac{1}{2} \\ \frac{1}{a t} ， t \geq \frac{1}{2} \end{array} ， (a > 0)$ 如图所示，则a=；

实验表明，当房间中该药物含量不超过0.75 mg/m³时对人体无害，为了不使人体受到该药物的伤害，则使用该消毒剂对这个房间进行消毒后至少经过小时方可进入.

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四、解答题

16. 已知函数 $f (x) = \sin x - \sqrt{3} \cos x .$

(1)、求 $f (\frac{π}{3})$ 及f(x)的最小正周期；

(2)、若 $x \in [\frac{π}{2} ， \frac{3 π}{2}] ，$ 求f(x)的值域.

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17. 已知 ${a_{n}}$ 是等差数列， ${b_{n}}$ 是各项都为正数的等比数列， $a_{1} = b_{2} = 1,$ 再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择两个作为已知.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式;

(2)、求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和.
条件①: $a_{2} + a_{4} = 10$ ；条件②: $b_{2} b_{4} = 4$ ；条件③: $b_{4} = a_{5} .$

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18. 在△ABC中，AB=2，AC=3.

(1)、若B=60°，
(i)求BC;

(ii)设D是边BC上一点，且∠ADC=120°，求 $\sin ∠ D A C$ ;

(2)、若AE是△ABC的内角平分线，求AE的取值范围.

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19. 已知函数f(x)=x+alnx(a∈R).

(1)、当 $a = - 1$ 时，求函数f(x)的极值;

(2)、若不等式 $f (x) \leq \frac{1}{2} x^{2} + a x$ 对任意x>0恒成立，求a的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{a \cos x}{x} + b (a ，$ b∈R).

(1)、当 $a = 1 ， b = 0$ 时，判断函数f(x)在区间 $(0 ， \frac{π}{2})$ 内的单调性；

(2)、已知曲线 $f (x) = \frac{a \cos x}{x} + b$ 在点 $(\frac{π}{2} ， f (\frac{π}{2}))$ 处的切线方程为 $y = - \frac{6}{π} x + 2.$
(i)求f(x)的解析式；

(ii)判断方程 $f (x) = \frac{3}{2 π} -$ 1在区间(0，2π]上解的个数，并说明理由.

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 是无穷数列，其前n项和为 $S_{n} .$ 若对任意的正整数 $m \geq 2$ ，存在正整数 $k$ ， $l$ ( $1 \leq k \leq l$ )使得 $S_{m} = a_{k} + a_{l}$ ，则称数列 ${a_{n}}$ 是“S数列".

(1)、若 $a_{n} = 2 n (n = 1, 2, \dots),$ 判断数列 ${a_{n}}$ 是否是“S数列”，并说明理由;

(2)、设无穷数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n} = q^{n} (n = 1, 2, \dots)$ 且 $q > 2$ ，证明数列 ${a_{n}}$ 不是“S数列";

(3)、证明:对任意的无穷等差数列 ${a_{n}}$ ，存在两个“S数列" ${b_{n}}$ 和 ${c_{n}}$ ，使得 $a_{n} = b_{n} - c_{n} (n = 1, 2 \dots)$ 成立.

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