江苏省苏州市姑苏区五校联考2021届九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-12-09 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下面的函数是二次函数的是（）

A、 $y = 3 x + 1$ B、 $y = x^{2} + 2 x$ C、 $y = \frac{x}{2}$ D、 $y = \frac{2}{x^{2} - 2 x - 1}$

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2. 若二次函数y=2x²的图象经过点P（1，a），则a的值为（　　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、4

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3. 一元二次方程 $x^{2} - 2 x + 3 = 0$ 的根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、只有一个实数根 D、没有实数根

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4. 把二次函数 $y = - x^{2} - 2 x + 3$ 配方化为 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 形式是（）.

A、 $y = - {(x - 1)}^{2} - 4$ B、 $y = - {(x + 1)}^{2} + 4$ C、 $y = - {(x - 1)}^{2} + 3$ D、 $y = - {(x + 1)}^{2} - 3$

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5. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = (x + 5) (x - 3)$ 经过变换后得到抛物线 $y = (x + 3) (x - 5)$ ，则这个变换可以是（）

A、向左平移2个单位 B、向右平移2个单位 C、向左平移8个单位 D、向右平移8个单位

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6. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示:

x

…

0

1

2

3

4

…

y

…

4

1

0

1

4

…

点 $A (x_{1}, y_{1})$ 、 $B (x_{2}, y_{2})$ 在函数的图象上，则当1<x₁<2，3<x₂<4时， $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的大小关系正确的是（）

A、 $y_{1} \geq y_{2}$ B、 $y_{1} = y_{2}$ C、 $y_{1} > y_{2}$ D、 $y_{1} < y_{2}$

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7. 我们知道方程x²＋2x-3＝0的解是x₁＝1，x₂＝-3，现给出另一个方程(2x＋3)²＋2(2x＋3)-3＝0，它的解是(　　).

A、x₁＝1，x₂＝3 B、x₁＝1，x₂＝-3 C、x₁＝-1，x₂＝3 D、x₁＝-1，x₂＝-3

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8.
已知函数y=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如下面右图所示，则函数y=ax+b的图象可能正确的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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9. 当-2≤x≤1时，二次函数y=－(x－m)²+m²+1有最大值4，则实数m的值为（）

A、 $- \frac{7}{4}$ 或2 B、 $- \frac{7}{4}$ 或 $- \sqrt{3}$ C、2或 $\sqrt{3}$ D、2或 $- \sqrt{3}$

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10. 如图 $△ A B C$ 和 $△ D E F$ 都是边长为2的等边三角形，它们的边 $B C ， E F$ 在同一条直线l上，点C，E重合，现将 $Δ A B C$ 沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动.在此过程中，设点移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

11. 关于x的方程ax²-3x-6=0是一元二次方程，则a满足的条件是.

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12. 方程（x﹣1）（x﹣3）＝0的解为．

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13. 若x₁ ， x₂是方程 $x^{2} - 4 x - 2020 = 0$ 的两个实数根，则代数式 $2 x_{1} + 2 x_{2} - x_{1} x_{2}$ 的值等于.

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14. 一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程x²-6x+8=0的根，则三角形的周长为.

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15. 科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表：

温度t/℃

-4

-2

0

1

4

植物高度增长量l/mm

41

49

49

46

25

科学家经过猜想、推测出l与t之间是二次函数关系.由此可以推测最适合这种植物生长的温度为℃.

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16. 某型号的手机连续两次降价，单价由原来的5200元降到了1300元.设平均每次降价的百分率为x，则可以列出的一元二次方程是.

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17. 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b²＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论的是（只填序号）.

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18. 如图，已知二次函数 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{3}{2} x + 2$ 的图象交x轴于A(－1，0)，B(4，0)，交y轴于点C，点P是直线BC上方抛物线上一动点（不与B，C重合），过点P作PE⊥BC，PF∥y轴交BC与F，则△PEF面积的最大值是.

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三、解答题

19. 解方程

(1)、 $x^{2} = 4 x$

(2)、 ${(x + 2)}^{2} = 25$

(3)、 $x^{2} - 2 x - 1 = 0$

(4)、 $\frac{6}{x^{2} - 1} - \frac{3}{x - 1} = 1$

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20. 已知关于x的方程3x²+mx-8=0.

(1)、求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；

(2)、若方程有一个根是 $\frac{2}{3}$ ，求另一个根及m的值.

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21. 如图，要利用一面墙（墙长为25米）建一个矩形场地，用100米的围栏围成三个大小相同的矩形，设矩形的边长AB为x米，矩形场地的总面积为y平方米.

(1)、请用含有x的式子表示y（不要求写出x的取值范围）；

(2)、当x为何值时，矩形场地的总面积为400平方米？

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22. 已知关于x的一元二次方程x²﹣2x﹣a=0．

(1)、如果此方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围；

(2)、如果此方程的两个实数根为x₁ ， x₂ ，且满足 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = - \frac{2}{3}$ ，求a的值．

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23. 某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的销售单价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本.

(1)、请求出y与x的函数关系式；

(2)、写出该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元与销售单价x (元)的函数关系式；并确定当销售单价x为何值时，利润最大?

(3)、试通过(2)中的函数关系式及其大致图象，帮助该文具店确定产品的销售单价范围，使利润不低于150元(请直接写出销售单价x的范围).

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24. 在平面直角坐标系xOy中，直线 $y = - \frac{1}{2} x + 3$ 与x轴、y轴分别交于点A、B（如图）.抛物线y＝ax²+bx（a≠0）经过点A.

(1)、求线段AB的长；

(2)、如果抛物线y＝ax²+bx经过线段AB上的另一点C，且 $B C = 2 \sqrt{5}$ ，求这条抛物线的表达式；

(3)、如果抛物线y＝ax²+bx的顶点D位于△AOB内，则a的取值范围是.

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25. 如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（3，0），（3，4）.动点M、N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动.其中点M沿OA 向终点A运动，点N沿BC向终点C运动.过点N作NP⊥BC，交AC于P，连接MP，已知动点运动了x秒.

(1)、求点P的坐标（用含x的代数式表示）.

(2)、试求△MPA面积的最大值，并求此时x的值.

(3)、请你探索：当x为何值时，△MPA是一个等腰三角形？你发现了几种情况？写出你的探索结果.

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26. 已知二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A(1，0)、B(3，0)两点，与y轴交于C点(0，-3).

(1)、求a的值；

(2)、若P为二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)图象的顶点，求证：∠ACO=∠PCB；

(3)、若Q为二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)图象上一点，且∠ACO=∠QCB，求Q点的坐标.

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27. 如图，抛物线y=﹣x²+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD.

(1)、求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；

(2)、点Q在该抛物线的对称轴上，若△BCQ是以BC为直角边的直角三角形，求点Q的坐标；

(3)、若P为BD的中点，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标.

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x	…	0	1	2	3	4	…
y	…	4	1	0	1	4	…

温度t/℃	-4	-2	0	1	4
植物高度增长量l/mm	41	49	49	46	25