江苏省苏州市吴江区2020-2021学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-12-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集含 $U = R$ ，集合 $A = {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ， $B = {x | x > 1}$ ，则图中阴影部分所表示的集合为（）

A、{0} B、 ${0 ， 1}$ C、 ${1 ， 2}$ D、 ${0 ， 1 ， 2}$

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2. 已知集合 $A = {1, a}$ ， $B = {1, 2, 3}$ ，则“ $a = 3$ ”是“ $A \subset B$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知函数 $f (x + 1) = \frac{x^{2} - 1}{x}$ ，则 $f (2)$ 等于（）

A、0 B、 $\frac{2}{3}$ C、3 D、 $\frac{8}{3}$

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4. 若a，b， $c \in R$ ，且 $a > b$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $a + c > b - c$ B、 $(a - b) c^{2} ⩾ 0$ C、 $a c > b c$ D、 $\frac{b}{a} ⩽ \frac{b + c}{a + c}$

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5. “ $\forall x < 0$ ， $x^{2} + a x + 2 ⩾ 0$ ”为真命题，则实数a的取值范围为（）

A、 $a \leq 2 \sqrt{2}$ B、 $a \leq - 2 \sqrt{2}$ C、 $a \geq 2 \sqrt{2}$ D、 $a \geq - 2 \sqrt{2}$

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6. 对 $\forall x \in R$ ，用 $M (x)$ 表示 $f (x)$ ， $g (x)$ 中较大者，记为 $M (x) = \max {f (x), g (x)}$ ，若 $M (x) = {- x + 3, {(x - 1)}^{2}}$ ，则 $M (x)$ 的最小值为（）

A、-1 B、0 C、1 D、4

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7. 有一支长Lm的队伍匀速前进，速度大小为 $v_{1} m/s$ ，排尾的传令兵因传达命令赶赴排头，到达排头后立即返回，且往返速度大小均为 $v_{2} m/s$ ，如果传令兵回到排尾后，整个队伍正好前进了L $m$ ，则 $v_{1} : v_{2}$ 值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2} - 1$ D、 $\sqrt{2} + 1$

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8. 已知函数 $f (x) (x \in R)$ 满足 $f (x) + f (a - x) = 2$ ，若函数 $y = \frac{2 x + 1}{2 x - a}$ 的图像与 $y = f (x)$ 的图像有4个交点，分别为 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ ， $(x_{3}, y_{3})$ ， $(x_{4}, y_{4})$ ，则 $y_{1} + y_{2} + y_{3} + y_{4} =$ （）

A、2 B、4 C、8 D、2a

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二、多选题

9. 下列函数中，对 $\forall x \in R$ ，满足 $f (2 x) = 2 f (x)$ 的是（）

A、 $f (x) = | x |$ B、 $f (x) = x^{2}$ C、 $f (x) = x - | x |$ D、 $f (x) = x + \frac{1}{x}$

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10. 记全集为U，在下列选项中，是 $B \subseteq A$ 的充要条件的有（）

A、 $A \cup B = A$ B、 $A \cap B = A$ C、 $(∁_{U} A) \subset (∁_{U} B)$ D、 $A \cup (∁_{U} B) = U$

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11. 已知x，y是正数，且 $2 x + y = 1$ ，下列叙述正确的是（）

A、xy最大值为 $\frac{1}{8}$ B、 $4 x^{2} + y^{2}$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$ C、 $x (x + y)$ 最大值为 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{x + 2 y}{2 x y}$ 最小值为4

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12. 已知 $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 2}{x + 1}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x) = 0$ 方程无解 B、 $f (x)$ 的最小值为2 C、 $f (x)$ 的图像关于 $(- 1 ， 0)$ 对称 D、 $f (x)$ 的单调递增区间为 $(- \infty ， - 2)$ 和 $(0 ， + \infty)$

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三、填空题

13. 命题“ $\exists x > 1$ ， $x^{2} > 1$ ”的否定为.

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14. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x (x - 2), & x \geq 0 \\ x (a - x), & x < 0 \end{array},$ 对∀x∈R，有f( $-$ x)+f(x)=0，则实数a的值为.

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15. 已知 $a ， b ， c > 0$ ， $a^{2} + a b + 2 a c + 2 b c = 3$ ，则 $a + c + \frac{b}{2}$ 的最小值为.

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四、双空题

16. 图①是某公交车线路的收支差额(票价总收入减去运营成本)与乘客量x的函数图象.目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门提出了两种扭亏为赢的建议，如图②和图③，根据图象分别说明这两种建议，图②的建议是；图③的建议是.

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五、解答题

17. 幂函数 $f (x) = x^{a}$ 过点 $(4, 2)$ .

(1)、求 $a$ 的值，并证明 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 是增函数；

(2)、幂函数 $g (x)$ 是偶函数且在 $(0, + \infty)$ 是减函数，请写出 $g (x)$ 的一个表达式（直接写结果，不需要过程）.

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18. 设全集为R， $A = {x | a - 1 < x < 2 a}$ ， $B = {x | y = \sqrt{\frac{x - 5}{2 - x}}}$ .

(1)、若 $a = 4$ ，求 $A \cap B$ ， $∁_{R} (A \cap B)$ ；

(2)、若“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的_________条件，求实数a的取值范围.
请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中选一个填在横线上，使实数a有解，并解答问题.

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19. 已知 $f (x) = 2 x^{2} + (a - 2) x + a$ .

(1)、若方程 $f (x) = 0$ 在 $[- 1, 1]$ 上有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；

(2)、解关于x的不等式 $f (x) < a^{2}$ .

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20. 某居住小区为了居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为 ${200m}^{2}$ 的十字形地域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元 ${/m}^{2}$ ，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地面，造价为210元 ${/m}^{2}$ ，再在四个空角上铺草坪，造价为80元 ${/m}^{2}$ ．

(1)、设总造价为S元，AD长为 $x m$ ，试建立S关于x的函数关系式；

(2)、当x为何值时，总造价S最小？并求出这个最小值．

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21. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - | x | + 2 a - 1 (a > 0)$ .

(1)、请在如图所示的直角坐标系中作出 $a = \frac{1}{2}$ 时 $f (x)$ 的图像，并根据图像写出函数的单调区间；

(2)、设函数 $f (x)$ 在 $x \in [1 ， 2]$ 上的最小值为 $g (a)$ .
①求 $g (a)$ 的表达式；

②若 $a \in [\frac{1}{4} ， \frac{1}{2}]$ ，求 $g (a)$ 的最大值.

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22. 已知函数 $f (x) = x + \frac{4}{x}$ .

(1)、若在 $[1, 6]$ 上 $\exists x_{0}$ ，使得 $| f (x_{0}) - 6 | ⩾ a$ 成立，求实数a的取值范围；

(2)、若不等式 $f (\sqrt{1 - x^{2}}) ⩾ m \sqrt{1 - x^{2}} + 16$ 恒成立，求实数m的取值范围；

(3)、若函数 $g (x) = | f (x) - a | + a$ 在区间 $[1, 4]$ 上的最大值是5，求a的取值范围

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