江苏省南京市三校2020-2021学年高三上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2020-12-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设集合 $M = [1, 3)$ ， $N = (2, 5]$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $[1, 5]$ B、 $(2, 3)$ C、 $[1, 2)$ D、 $(3, 5]$

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2. 已知 $i$ 是虚数单位，设复数 $a + b i = \frac{2 - i}{2 + i}$ ，其中 $a, b \in R$ ，则a+b的值为（）

A、 $\frac{7}{5}$ B、 $- \frac{7}{5}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $- \frac{1}{5}$

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3. 从5名同学中选若干名分别到图书馆、食堂做志愿者，若每个地方至少去2名，则不同的安排方法共有（）

A、20种 B、50种 C、80种 D、100种

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4. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”你的计算结果是（）

A、80里 B、86里 C、90里 D、96里

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5. 若正数 $a$ 是一个不等于1的常数，则函数 $y = \log_{a} x$ 与函数 $y = x^{a} (x > 0)$ 在同一个坐标系中的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 设 $a = {0.3}^{2.1}$ ， $b = {2.1}^{0.3}$ ， $c = \log_{0.3} 2.1$ ， $d = \log_{2.1} 0.3$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ 的大小关系为（）

A、 $a > b > c > d$ B、 $d > c > b > a$ C、 $b > a > c > d$ D、 $b > a > d > c$

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7. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} = 9$ 及圆 $C$ 内的一点 $P (1 ， 2)$ ，圆 $C$ 的过点 $P$ 的直径为 $M N$ ，若线段 $A B$ 是圆 $C$ 的所有过点 $P$ 的弦中最短的弦，则 $(\vec{A M} - \vec{B N}) \cdot \vec{A B}$ 的值为（）

A、8 B、16 C、4 D、 $4 \sqrt{3}$

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8. 设 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的函数， $g (x) = f (x + 1)$ ．若函数 $g (x)$ 满足下列条件：① $g (x)$ 是偶函数；② $g (x)$ 在区间 $[0, + \infty)$ 上是增函数；③ $g (x)$ 有一个零点为2，则不等式 $(x + 1) f (x) > 0$ 的解集是（）

A、 $(3, + \infty)$ B、 $(1, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (3, + \infty)$

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二、多选题

9. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，为了使方程 $x^{2} + m y^{2} - 2 = 0$ 表示准线垂直于 $x$ 轴的圆锥曲线，实数 $m$ 的取值范围可以是（）

A、 $(1, + \infty)$ B、 $(- \infty, 0)$ C、 $(- \infty, + \infty)$ D、 $(0, + \infty)$

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10. 若将函数 $y = A \sin (ω x + φ)$ 的图象上所有的点向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，再把得到的图象上各点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），最后得到函数 $y = \sin (\frac{2}{3} x + \frac{2 π}{3})$ 的图象，则实数 $φ$ 的值可能是（）

A、 $\frac{4 π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $- \frac{2 π}{3}$ D、 $- \frac{4 π}{3}$

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11. 设 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + 2 b = 4$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为2 C、 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值为 $\frac{9}{4}$ D、 $\frac{b}{a + 1} + \frac{a}{b + 1} \geq 1$

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12. 设常数 $a \in R$ ， $n \in N^{*}$ ，对于二项式 ${(1 + a \sqrt{x})}^{n}$ 的展开式，下列结论中，正确的是（）

A、若 $a < \frac{1}{n}$ ，则各项系数随着项数增加而减小 B、若各项系数随着项数增加而增大，则 $a > n$ C、若 $a = - 2$ ， $n = 10$ ，则第7项的系数最大 D、若 $a = - \sqrt{2}$ ， $n = 7$ ，则所有奇数项系数和为239

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三、填空题

13. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，过抛物线 $C : y^{2} = m x$ 的焦点 $F$ 作斜率为1的直线，与抛物线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点．若弦 $A B$ 的长为6，则实数 $m$ 的值为.

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14. 今年元旦，市民小王向朋友小李借款100万元用于购房，双方约定年利率为 $5 %$ ，按复利计算（即本年利息计入次年本金生息），借款分三次等额归还，从明年的元旦开始，连续三年都是在元旦还款，则每次的还款额是元．（四舍五入，精确到整数）

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15. 数学家研究发现，对于任意的 $x \in R$ ， $\sin x = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} + \cdot \cdot \cdot + {(- 1)}^{n - 1} \frac{x^{2 n - 1}}{(2 n - 1)!} + \cdot \cdot \cdot (n \in N^{*})$ ，称为正弦函数的泰勒展开式．在精度要求不高的情况下，对于给定的实数 $x$ ，可以用这个展开式来求 $\sin x$ 的近值．如图，百货大楼的上空有一广告气球，直径为6米，在竖直平面内，某人测得气球中心 $B$ 的仰角 $∠ B A C = 30 °$ ，气球的视角 $α = 2 °$ ，则该气球的高 $B C$ 约为米．（精确到1米）

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16. 如图所示，多面体 $A B C D E F G H$ 中对角面 $C D E F$ 是边长为6的正方形， $A B \underline{\underline{//}} D C$ ， $H G \underline{\underline{//}} D E$ ，且 $A B$ ， $G H$ 到平面 $C D E F$ 的距离都是3，则该多面体的体积为.

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四、解答题

17. 设函数 $f (x) = 4 \sqrt{3} \cos^{2} x - 4 \sin x \cos x + 1$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和值域；

(2)、在锐角 $△ A B C$ 中，设角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ．若 $f (A) = 1$ ， $a = 1$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围．

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18. 阅读本题后面有待完善的问题，在下列三个关系① $a_{n + 1} = \frac{1}{2} a_{n} + 1$ ，② $a_{n + 1} = a_{n} + 2$ ，③ $S_{n} = 2 a_{n} - 1$ 中选择一个作为条件，补充在题中横线标志的处，▲ 使问题完整，并解答你构造的问题．（如果选择多个关系并分别作答，在不出现逻辑混乱的情况下，按照第一个解答给分）
设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ，对任意的 $n \in N^{*}$ ，都有 ▲ ；等比数列 ${b_{n}}$ 中，对任意的 $n \in N^{*}$ ，都有 $b_{n} > 0$ ， $2 b_{n + 2} = b_{n + 1} + 3 b_{n}$ ，且 $b_{1} = 1$ ，问：是否存在 $k \in N^{*}$ ，使得：对任意的 $n \in N^{*}$ ，都有 $a_{n} b_{k} \leq a_{k} b_{n}$ ？若存在，试求出 $k$ 的值；若不存在，试说明理由．

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19. 如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为1的正方形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，点 $M$ 是侧棱 $P C$ 的中点， $A M ⊥$ 平面 $P B D$ ．

(1)、求 $P A$ 的长；

(2)、求棱 $P C$ 与平面 $A M D$ 所成角的正弦值．

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20. 在20人身上试验某种血清对预防感冒的作用，把他们一年中是否患感冒的人数与另外20名未用血清的人是否患感冒的人数作比较，结果如下表所示．

	未感冒	感冒
使用血清	17	3
未使用血清	14	6

附：对于两个研究对象Ⅰ（有两类取值：类A，类B）和Ⅱ（有两类取值：类1，类2）统计数据的一个2×2列联表：

		Ⅱ
		类1	类2
Ⅰ	类A	$a$	$b$
Ⅰ	类B	$c$	$d$

有 $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

临界值表（部分）为

$P (χ^{2} \geq k)$	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k$	0.445	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

(1)、从上述患过感冒的人中随机选择4人，以进一步研究他们患感冒的原因．记这4人中使用血清的人数为

X

，试写出

X

的分布列；

(2)、有多大的把握得出“使用该种血清能预防感冒”的结论？你的结论是什么？请说明理由．

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21. 设 $M$ 是定义在 $R$ 上且满足下列条件的函数 $f (x)$ 构成的集合：
①方程 $f (x) - x = 0$ 有实数解；

②函数 $f (x)$ 的导数 $f^{'} (x)$ 满足 $(A ， C_{2})$ ．

(1)、试判断函数 $f (x) = \frac{x}{2} + \frac{\sin x}{4}$ 是否集合 $M$ 的元素，并说明理由；

(2)、若集合 $M$ 中的元素 $f (x)$ 具有下面的性质：对于任意的区间 $[m ， n]$ ，都存在 $x_{0} \in [m ， n]$ ，使得等式 $f (n) - f (m) = (n - m) f^{'} (x_{0})$ 成立，证明：方程 $f (x) - x = 0$ 有唯一实数解．

(3)、设 $x_{1}$ 是方程 $f (x) - x = 0$ 的实数解，求证：对于函数 $f (x)$ 任意的 $x_{2} ， x_{3} \in R$ ，当 $| x_{2} - x_{1} | < 1$ ， $| x_{3} - x_{1} | < 1$ 时，有 $| f (x_{3}) - f (x_{2}) | < 2$ ．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $E$ 与双曲线 $C ： \frac{y^{2}}{36} - \frac{x^{2}}{12} = 1$ 有共同的中心和准线，且双曲线 $C$ 的一条渐近线被椭圆 $E$ 截得的弦长为 $4 \sqrt{2}$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、若过点 $P (0 ， m)$ 存在两条互相垂直的直线都与椭圆 $E$ 有公共点，求实数 $m$ 的取值范围．

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