江苏省连云港市2020-2021学年高三上学期数学期中调研适应性考试试卷

试卷更新日期：2020-12-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x (x - 2) < 0}$ ，集合 $B = {x | x < 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- \infty, 2)$ B、 $(- \infty, 1)$ C、 $(0, 1)$ D、 $(0, 2)$

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2. “ $0 < a < 2$ ”是“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} + a x + 1 > 0$ ”成立的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 曲线 $y = x \ln x$ 在点 $M (e ， e)$ 处的切线方程为（）

A、 $y = 2 x + e$ B、 $y = 2 x - e$ C、 $y = x + e$ D、 $y = x - e$

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4. 激光多普勒测速仪（LaserDopplerVelocimetry，LDV）的工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚后反射，探测器接收反射光，当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同；当横向速度不为零时，反射光相对探测光发生频移，频移 $f_{p} = \frac{2 v \sin φ}{λ} (1 /h)$ ，其中 $v$ 为被测物体的横向速度， $φ$ 为两束探测光线夹角的一半， $λ$ 为激光波长.如图，用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，激光测速仪安装在距离高铁 $1 m$ 处，发出的激光波长为 $1560 nm (1 nm = 10^{- 9} m)$ ，测得这时刻的频移为 $8.72 \times 10^{9} (1 /h)$ ，则该时刻高铁的速度约为（）

A、 $320 km/h$ B、 $330 km/h$ C、 $340 km/h$ D、 $350 km/h$

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5. 已知 $a = e^{0.3}$ ， $b = {(\frac{1}{2})}^{e}$ ， $c = \log_{5} \sqrt{7}$ ， $d = \sin 4$ ，则（）

A、 $a > b > c > d$ B、 $a > c > b > d$ C、 $d > b > a > c$ D、 $b > a > d > c$

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6. 函数 $f (x) = (3 x - x^{3}) \cdot \sin x$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C ＝ 120 °$ ， $A C = 2 \sqrt{3}$ ， $\vec{B M} + \frac{1}{2} \vec{C B} = \vec{0}$ ， $\vec{D C} = λ \vec{D N}$ ，若 $\vec{A M} \cdot \vec{A N} = 29$ ，则 $λ =$ （）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{7}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{5}$

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8. 函数 $f (x) = x \ln x - x + 2 a + 2$ ，若 $f (x)$ 与 $f (f (x))$ 有相同的值域，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， 0]$ B、 $(- \frac{1}{2} ， 0]$ C、 $[0 ， \frac{3}{2})$ D、 $[0 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a^{2} + b^{2} = 2$ ，则下列不等式中一定成立的是（）

A、 $a b \leq 1$ B、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \leq 2$ C、 $\lg a + \lg b \leq 1$ D、 $a + b \leq 2$

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10. 已知 $△ A B C$ 是边长为2的等边三角形， $D$ 是边 $A C$ 上的点，且 $\vec{A D} = 2 \vec{D C}$ ， $E$ 是 $A B$ 的中点， $B D$ 与 $C E$ 交于点 $O$ ，那么（）

A、 $\vec{O E} + \vec{O C} = \vec{0}$ B、 $\vec{A B} \cdot \vec{C E} = - 1$ C、 $| \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} | = \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $| \vec{D E} | = \frac{\sqrt{13}}{2}$

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11. 历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷（Dirichlet），当时数学家们处理的大部分数学对象都没有完全的严格的定义，数学家们习惯借助于直觉和想象来描述数学对象，狄利克雷在1829年给出了著名函数： $f (x) = {\begin{array}{l} 1, x \in Q \\ 0, x \in Q_{c} \end{array}$ （其中 $Q$ 为有理数集， $Q_{C}$ 为无理数集），狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来，这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”.一般地，广义的狄利克雷函数可定义为： $D (x) =$ ${\begin{array}{l} a, x \in Q \\ b, x \in Q_{c} \end{array}$ （其中 $a$ ， $b \in R$ 且 $a \neq b$ ），以下对 $D (x)$ 说法正确的是（）

A、当 $a > b$ 时， $D (x)$ 的值域为 $[b, a]$ ；当 $a < b$ 时， $D (x)$ 的值域为 $[a, b]$ B、任意非零有理数均是 $D (x)$ 的周期，但任何无理数均不是 $D (x)$ 的周期 C、 $D (x)$ 为偶函数 D、 $D (x)$ 在实数集的任何区间上都不具有单调性

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12. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = A B = 4$ ， $B C = 2$ ， $M$ ， $N$ 分别为棱 $C_{1} D_{1}$ ， $C C_{1}$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A、 $M N //$ 平面 $A_{1} B D$ B、平面 $M N B$ 截长方体所得截面的面积为 $6 \sqrt{2}$ C、直线 $B N$ 与 $B_{1} M$ 所成角为60° D、三棱锥 $N - A_{1} D M$ 的体积为4

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (4, m)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ .

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14. 已知 $f (x)$ ， $g (x)$ 分别是定义在 $R$ 上的偶函数和奇函数，且 $f (x) - g (x) = x^{3} + x^{2} + a$ ，则 $g (2) =$ .

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15. 若 $\cos (α - \frac{π}{4}) = \cos 2 α$ ，则 $\sin 2 α =$ .

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四、双空题

16. 四棱锥 $P - A B C D$ 各顶点都在球心为 $O$ 的球面上，且 $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为矩形， $P A = A B = 2$ ， $A D = 4$ ，则球 $O$ 的体积是；设 $E$ 、 $F$ 分别是 $P B$ 、 $B C$ 中点，则平面 $A E F$ 被球 $O$ 所截得的截面面积为.

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五、解答题

17. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ ，其中 $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $- \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2}$ ， $x \in R$ ，其部分图象如图所示.

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的解析式；

(2)、已知函数 $g (x) = f (x) \cos x$ ，求函数 $g (x)$ 的单调递增区间.

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18. 在① $∠ A = \frac{π}{6}$ ，② $S_{△ A B D} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ ，③ $\cos ∠ A B D = - \frac{1}{2}$ 三个条件中任选一个，补充在以下问题的横线上，并解答.
问题：在平面四边形 $A B C D$ 中，已知 $A B = B C = C D = 1$ ， $A D = \sqrt{3}$ ，且满足________.

(1)、求 $\sin ∠ B D C$ 的值；

(2)、求平面四边形 $A B C D$ 的面积.

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + m}{x} (1 \leq x \leq 4)$ ，且 $f (1) = 5$ .

(1)、求实数m的值，并求函数 $f (x)$ 的值域；

(2)、函数 $g (x) = a x - 1 (- 2 \leq x \leq 2)$ ，若对任意 $x_{1} \in [1, 4]$ ，总存在 $x_{0} \in [- 2, 2]$ ，使得 $g (x_{0}) = f (x_{1})$ 成立，求实数a的取值范围.

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20. 如图，在四棱锥 $E - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $B E ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $G$ 为 $A C$ 与 $B D$ 的交点.

(1)、证明：平面 $A E C ⊥$ 平面 $B E D$ ；

(2)、若 $∠ B A D = 60 °$ ， $A E ⊥ E C$ ，求直线 $E G$ 与平面 $E D C$ 所成角的正弦值.

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21. 因为运算，数的威力是无限的，没有运算，数就只能成为一个符号.把一些已知量进行组合，通过数学运算可以获得新的量，从而解决一些新的问题.

(1)、对数运算与指数幂运算是两类重要的数学运算，请你根据对数定义推导对数的一个运算性质：如果 $a > 0$ ， $a \neq 1$ ， $M > 0$ ， $n \in R$ ，那么 $\log_{a} M^{n} = n \log_{a} M$ ；

(2)、请你运用上述对数运算性质，计算 $\frac{\lg 3}{\lg 4} (\frac{\lg 8}{\lg 9} + \frac{\lg 16}{\lg 27})$ 的值；

(3)、对数的运算性质降低了数学运算的级别，简化了数学运算，是数学史上的伟大成就.例如，因为 $2^{10} = 1024 \in (10^{3}, 10^{4})$ ，所以 $2^{10}$ 是一个4位数，我们取 $\lg 2 = 0.3010$ ，请你运用上述对数运算性质，判断 $2^{50}$ 的位数是多少？

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{a}{x} + x + \ln x - 3$ ， $a \in R$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的零点个数.

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