江苏省镇江市2020-2021学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-12-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知数列 $a_{n} = n^{2} - 6 n + 5$ 则该数列中最小项的序号是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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2. 若椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ 与双曲线 $x^{2} - 15 y^{2} = 15$ 的焦点相同，则m的值为（）

A、3 B、4 C、6 D、9

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3. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前11项和 $S_{11} = 88$ ，则 $a_{2} + a_{10} =$ （）

A、16 B、17 C、18 D、19

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4. 卢浮宫金字塔位于巴黎卢浮宫的主院拿破仑庭院，由美籍华人建筑师设计，已成为巴黎的城市地标｡金字塔为正四棱锥造型，四个侧面由几乎大小相同的玻璃块拼装而成，能成为地下设施提供良好的采光，创造性地解决了把古老宫殿改造成现代美术馆的一系列难题，取得极大成功，金字塔塔高21米，底宽34米，如果每块玻璃面积为2.72平方米，不计安装中的损耗，请你估算，建造这座玻璃金字塔需要玻璃块的块数最接近的数为（）

A、575 B、625 C、675 D、725

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5. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，P为AC上的动点，则 $P B_{1}$ 与平面 $D A_{1} C_{1}$ 的位置关系是（）

A、线在面内 B、平行 C、相交 D、不能确定

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6. 抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的准线与双曲线 $4 x^{2} - y^{2} = 1$ 的两条渐近线所围成的三角形面积为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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7. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n},$ 且 $\frac{S_{6}}{S_{3}} = 9$ ，则 $\frac{a_{4}}{a_{2}}$ 的值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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8. 降雨量是气象部门观测的重要数据，日降雨量是指一天内降落在地面单位面积雨水层的深度(单位：毫米)｡我国古代就有关于降雨量测量方法的记载，古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：天池盆(圆台形状)盆口直径二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸｡若盆中积水深九寸，则平地降雨量是几寸(注：一尺等于十寸，一寸等于

\frac{10}{3}

厘米)?已知某隧道的积水程度与日降水量的关系如下表所示：

日降雨量(单位：毫米)	[15，40)	[40，70)	[70，120)	[120，250)
隧道积水程度	一级	.二级	三级	四级

如果某天该隧道的日降水量按照“天池盆测雨”题中数据计算，则该隧道的积水程度为（）

A、一级 B、二级 C、三级 D、四级

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二、多选题

9. 下列说法正确的有（）

A、正三棱锥的三个侧面重心所确定的平面与底面平行 B、设m为圆锥的一条母线，则在该圆锥底面圆中，有且只有一条直径与m垂直 C、对于任意一个正棱柱，都存在一个球，使得该正棱柱的所有顶点都在此球面上 D、设AB，CD分别为圆柱上､下底面的弦，则直线AB，CD间距离等于该圆柱母线长

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10. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差不为 $0$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $2 a_{1}$ 、 $S_{8}$ 、 $S_{9}$ 成等差数列，则下列四个选项中正确的有（）

A、 $2 a_{5} + 3 a_{9} = S_{8}$ B、 $S_{2} = S_{7}$ C、 $S_{5}$ 最小 D、 $a_{5} = 0$

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11. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的左､右焦点为 $F_{1} ， F_{2} ，$ 点P在椭圆上，且不与椭圆的左､右顶点重合，则下列关于 $△ P F_{1} F_{2}$ 的说法正确的有（）

A、 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为4+ $2 \sqrt{2}$ B、当 $∠ P F_{1} F_{2} = 90^{°}$ 时， $△ P F_{1} F_{2}$ 的边 $P F_{1} = 2$ C、当 $∠ F_{1} P F_{2} = 60^{°}$ 时， $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ D、椭圆上有且仅有6个点P，使得 $△ P F_{1} F_{2}$ 为直角三角形

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12. 计算机病毒危害很大，一直是计算机学家研究的对象.当计算机内某文件被病毒感染后，该病毒文件就不断地感染其他未被感染文件.计算机学家们研究的一个数字为计算机病毒传染指数 $C_{0} ，$ 即一个病毒文件在一分钟内平均所传染的文件数，某计算机病毒的传染指数 $C_{0} = 2 ，$ 若一台计算机有 $10^{5}$ 个可能被感染的文件，如果该台计算机有一半以上文件被感染，则该计算机将处于瘫疾状态.该计算机现只有一个病毒文件，如果未经防毒和杀毒处理，则下列说法中正确的是（）

A、在第3分钟内，该计算机新感染了18个文件 B、经过5分钟，该计算机共有243个病毒文件 C、10分钟后，该计算机处于瘫痪状态 D、该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为2的等比数列

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三、填空题

13. 抛物线 $C : y^{2} = 2 p x$ 的焦点F是圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ 的圆心，P为抛物战C上在第一象限内的点，且PF=3，则P点的坐标为.

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14. 已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的所有顶点都在球O的表面上，且AB=BC=3，异面直线 $C C_{1}$ 与 $A D_{1}$ 所成的角为60°，则球O的表面积为.

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15. 古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中记载了用平面截圆锥得到圆锥曲线的方法.如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的顶点和轴都重合)，已知两个圆锥的底面直径均为4，侧面积均为 $2 \sqrt{5} π .$ 记过两个圆锥轴的截面为平面α，平面α与两个圆锥侧面的交线为AC，BD.已知平面β平行于平面α，平面β与两个圆锥侧面的交线为双曲线C的一部分，且C的两条渐近线分别平行于AC，BD，则该双曲线C的离心率为.

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四、双空题

16. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的首项和公差都为2.则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式= ，数列 ${\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}}$ 上的前2020项和为.

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五、解答题

17. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B_{1} A_{1} C_{1} = 90 °$ ， $P$ 、 $Q$ 分别是棱 $A_{1} B_{1}$ ， $B_{1} C_{1}$ 的中点，求证：

(1)、 $A C //$ 平面 $B P Q$ ；

(2)、 $A C ⊥ B P$ .

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18. 在① $S_{3} = 13$ ；② $S_{n} = 3^{n} - 2$ ；③ $S_{n} = \frac{3^{n} - 1}{2}$ ；这三个条件中，请选择一个条件将下面的题目补充完整并解答本题.
题目：设等比数列 ${a_{n}}$ 的各项都为正数， $a_{1} = 1$ ，前n项和为 $S_{n}$ ，且_________.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = \log_{3} a_{n + 1}$ ，求数列 ${a_{n} b_{n}}$ 的前n项和.

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19. 已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0 ）$ 的长轴长为8，一条准线方程为 $x = \frac{16 \sqrt{7}}{7},$ 与椭圆 $C_{1}$ 共焦点的双曲线 $C_{2},$ 其离心率是椭圆 $C_{1}$ 的离心率的2倍.

(1)、分别求椭圆 $C_{1}$ 和双曲线 $C_{2}$ 的标准方程；

(2)、过点M(4，1)的直线l与双曲线 $C_{2},$ 交于P，Q两点，且M为线段PQ的中点，求直线l的方程.

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20. 已知数列 ${a_{n}}, {b_{n}}$ 的各项均为正数，前n项和分别为 $S_{n}, T_{n},$ 且对任意正整数， $2 a_{n} = S_{n} + 1, 2 \sqrt{T_{n}}$ $= b_{n} + 1$ 恒成立.

(1)、分别求数列 ${a_{n}}, {b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若对于任意的正整数 $n, T_{n} \leq k (S_{n} + 1)$ 恒成立，求实数k的取值范围.

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21. 如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，四边形PACQ为矩形，PA=1，且平面PACQ⊥平面ABCD.

(1)、求BP与平面ACQP所成角的余弦值；

(2)、求二面角B-PQ-D的大小；

(3)、求点C到平面BPQ的距离.

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22. 在平面直角坐标系xOy中，有三条曲线：① $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{m} = 1 (0 < m < 4)$ ；② $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{n} = 1 (n > 0)$ ；③ $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ .请从中选择合适的一条作为曲线C，使得曲线C满足：点F(1，0)为曲线C的焦点，直线y=x-1被曲线C截得的弦长为8.

(1)、请求出曲线C的方程；

(2)、设A，B为曲线C上两个异于原点的不同动点，且OA与OB的斜率之和为1，过点F作直线AB的垂线，垂足为H，问是否存在定点M，使得线段MH的长度为定值?若存在，请求出点M的坐标和线段MH的长度；若不存在，请说明理由.

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