江苏省无锡市江阴市四校2020-2021学年高二上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2020-12-08 类型：期中考试

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一、填空题

1. 命题“ $\forall x \in N, n^{2} > 2^{n}$ ”的否定是.

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2. 过点P（－1,3）且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程是．

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3. $a = - \frac{3}{2}$ 是直线 $l_{1} ： x + 2 a y - 1 = 0$ 和直线 $l_{2} ： (a + 1) x - a y = 0$ 平行的条件．
（从 “充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中，选出适当的一种填空）

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4. 若圆 $C$ 的半径为1,点 $C$ 与点 $(2, 0)$ 关于点 $(1, 0)$ 对称,则圆 $C$ 的标准方程为.

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5. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}, E, F$ 分别是正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 和 $A D D_{1} A_{1}$ 的中心,则 $E F$ 和 $C D$ 所成的角的大小是.

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6. 直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是．

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7. 设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V₁ ， S₁ ，底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V₂ ， S₂ ，若 $\frac{V_{1}}{V_{2}}$ ＝ $\frac{3}{π}$ ，则 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值为.

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8. 直线 $a x + y + 1 = 0$ 被圆 $x^{2} + y^{2} - 2 a x + a = 0$ 截得的弦长为2，则实数 $a$ 的值是．

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9. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $P (1, \frac{3}{2}),$ 离心率为 $\frac{1}{2},$ 则椭圆C的方程为.

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10. 已知 $α ， β$ 是两个不同的平面， $l ， m$ 是两条不同的直线， $l ⊥ α ， m \subset β$ .给出下列命题：
① $α / / β \Rightarrow l ⊥ m$ ；② $α ⊥ β \Rightarrow l / / m$ ；③ $m / / α \Rightarrow l ⊥ β$ ；④ $l ⊥ β \Rightarrow m / / α$ .

其中正确的命题是.

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11. 已知实数 $x ， y$ 满足方程 $y = \sqrt{- x^{2} + 4 x - 1}$ ，则 $\frac{y}{x}$ 的取值范围是.

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12. 已知圆 $C_{1}$ ： ${(x - a)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 4$ 与圆 $C_{2}$ ： ${(x + b)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 1$ 相外切，则 $a b$ 的最大值为.

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13. 若圆C： $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + 3 = 0$ ，关于直线 $2 a x + b y + 6 = 0$ 对称，则由点 $(a, b)$ 向圆所作的切线长的最小值为．

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14. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中,已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ = $1 (a > b > 0)$ 与不过坐标原点 $O$ 的直线 $l : y$ = $k x + m$ 相交于 $A 、 B$ 两点,线段 $A B$ 的中点为 $M$ ,若 $A B 、 O M$ 的斜率之积为 $- \frac{3}{4}$ ,则椭圆 $C$ 的离心率为.

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二、解答题

15.

(1)、求过点 $A (1, 3)$ ，斜率是直线 $y = - 4 x$ 的斜率的 $\frac{1}{3}$ 的直线方程；

(2)、求经过点 $A (- 5, 2)$ ，且在 $x$ 轴上的截距等于在 $y$ 轴上截距的2倍的直线方程.

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16. 如图，过底面是矩形的四棱锥F－ABCD的顶点F作 $E F ∥ A B$ ，使AB＝2EF，若平面 $A B F E ⊥$ 平面 $A B C D$ ，点G在CD上且满足DG＝GC.求证：

(1)、 $F G ∥$ 平面 $A E D$ ；

(2)、平面 $D A F ⊥$ 平面 $B A F$ .

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17. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，设命题 $p$ ：椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{8 - m} = 1$ 的焦点在 $x$ 轴上；命题 $q$ ：直线 $l ： x - y + m = 0$ 与圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 9$ 有公共点.若命题 $p \land q$ 为假命题，且命题 $p \lor q$ 为真命题，求实数 $m$ 的取值范围.

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18. 如图，在三棱锥D-ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC=a，E为BC中点，F在棱AC上，且AF=3FC.

(1)、求三棱锥D-ABC的体积；

(2)、求证：AC⊥平面DEF；

(3)、若M为DB中点，N在棱AC上，且 $C N = \frac{3}{8} C A ，$ 求证：MN//平面DEF.

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19. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知以 $M$ 为圆心的圆 $M$ ： $x^{2} + y^{2} - 12 x - 14 y + 60 = 0$ 及其上一点A(2，4).

(1)、设圆N与x轴相切，与圆 $M$ 外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；

(2)、设平行于OA的直线l与圆 $M$ 相交于B，C两点，且BC=OA，求直线l的方程；

(3)、设点T（t，0）满足：存在圆 $M$ 上的两点P和Q，使得 $\overset{⇀}{T A} + \overset{⇀}{T P} = \overset{⇀}{T Q} ，$ 求实数t的取值范围.

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20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a>b>0)的离心率 $e = \frac{1}{2} ，$ 左顶点为A(-4，0)，过点A作斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k(k≠0)都有OP⊥EQ，若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由；

(3)、若过O点作直线l的平行线交椭圆C于点M，求 $\frac{A D + A E}{O M}$ 的最小值.

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