江苏省苏州市吴中区2020-2021学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-12-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. 不等式x(x-2)＜8的解集是（）

A、｛x|-4<x<2｝ B、｛x|x＜-4或x＞2｝ C、{x|-2<x<4｝ D、｛x|x＜-2或x＞4｝

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2. 全称量词命题“ $\forall x \geq 0$ ， $2^{x} \geq 1$ ”的否定为（）

A、 $\exists x < 0$ ， $2^{x} < 1$ B、 $\forall x \geq 0$ ， $2^{x} < 1$ C、 $\exists x \geq 0$ ， $2^{x} < 1$ D、 $\forall x < 0$ ， $2^{x} < 1$

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3. 已知a＜b，则下列结论正确的是（）

A、 $a^{2} < b^{2}$ B、 $a^{3} < b^{3}$ C、 $b^{2} > a b$ D、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$

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4. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为S_n ，若S₂=8， $a_{3} + a_{8} = 2 a_{5} + 2$ ，则a₁等于（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 已知 $x$ 为实数，则“ $x > 0$ ”是“ $x + \frac{4}{x - 1} \geq 5$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知关于 $x$ 的不等式 $| x - a | + | x - 2 a | \geq 3$ 对一切实数 $x$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围（）

A、 $- 1 < a < 1$ B、 $a \leq - 1$ 或 $a \geq 1$ C、 $- 3 \leq a \leq 3$ D、 $a \leq - 3$ 或 $a \geq 3$

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7. 在我国古代数学著作《九章算术》里有这样一段描述:今有良马和驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里.良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.则二马相逢时，良马比驽马多走了多少路程（）

A、440里 B、540里 C、630里 D、690里

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8. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为S_n ，则下列命题一定正确的是（）

A、若S₂₀₂₁＞0，则a₃+a₁＞0 B、若S₂₀₂₀＞0，则a₃+a₁＞0 C、若S₂₀₂₁＞0，则a₂+a₄＞0 D、若S₂₀₂₀＞0，则a₂+a₄＞0

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二、多选题

9. 若正实数a，b满足a+b=4ab，则下列不等式一定成立的是（）

A、ab≥ $\frac{1}{4}$ B、ab≤ $\frac{1}{4}$ C、a+b≥1 D、a+b≤1

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 是公比为q的等比数列， $b_{n} = a_{n} + 4$ ，若数列 ${b_{n}}$ 有连续4项在集合｛-50，-20，22，40，85｝中，则公比q的值可以是（）

A、 $- \frac{3}{4}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $- \frac{4}{3}$ D、 $- \frac{3}{2}$

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11. 无穷等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为S_n ，若a₁＞0，d＜0，则下列结论正确的是（）

A、数列 ${a_{n}}$ 单调递减 B、数列 ${a_{n}}$ 有最大值 C、数列 ${S_{n}}$ 单调递减 D、数列 ${S_{n}}$ 有最大值

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12. 若关于x的不等式0≤ax²+bx+c≤1(a＞0)的解集为｛x|-1≤x≤2｝，则3a+2b+c的值可以是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{5}{4}$

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三、填空题

13. 若命题“ $\exists x$ ∈R，使得x²+ax+a＜0”是真命题，则实数a的取值范围是.

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14. 已知正实数 $a$ ， $b$ 满足 $a b = 1$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{8}{a + b}$ 的最小值为.

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15. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 单调递增，若a₁+a₄=7，a₂+a₃=6，则a₁+a₂=.

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四、双空题

16. 在数列 ${a_{n}}$ 中，a₁=1， $a_{n}_{+ 1} = \frac{n + 3}{n} a_{n} + 1 (n \in N^{*})$ ，则a₃= ， a_n=.

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五、解答题

17. 已知集合 $A = {x | | x - a | < 1}$ ， $B = {x | x^{2} + 2 x - 3 < 0}$ .

(1)、若 $x \in A$ 是 $x \in B$ 充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若存在实数 $x$ ，使得 $x \in A$ 和 $x \in B$ 同为真命题，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{n + 1} = S_{n} + a_{n} + 2$ ， .① $a_{3} + a_{8} = - 2$ ；② $S_{7} = - 28$ ；③ $a_{2}$ ， $a_{4}$ ， $a_{5}$ 成等比数列；请在①②③这三个条件中选择一个，填入题中的横线上，并解答下面的问题：

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 $S_{n}$ 的最小值并指明相应 $n$ 的值.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1}$ $= 1$ ， $n a_{n + 1} = 2 (n + 1) a_{n}$ ，设 $b_{n} = \frac{a_{n}}{n}$ .

(1)、求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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20. 如图，设矩形ABCD(AB＞BC)的周长为20cm，把△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过去后交DC于点P.设AB= $x$ (cm)，DP= $y$ (cm)，△ADP的面积为S.

(1)、请用 $x$ 表示 $y$ ，并指明x的取值范围；

(2)、求出S的最大值及相应的x的值.

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21. 已知函数 $f (x) = x | x - m |$ .

(1)、若 $m = 3$ ，解不等式 $f (x) > 2$ ；

(2)、若 $m > 0$ ，且 $f (x)$ 在 $[0 ， 2]$ 上的最大值为3，求正实数 $m$ 的值.

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22. 数列 ${a_{n}}$ 是公差为 $d$ 的等差数列，数列 ${b_{n}}$ 是公比为 $q$ 的等比数列，记数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .已知 $a_{1} = b_{1}, a_{2} = b_{2} \neq a_{1}$ .

(1)、若 $b_{k} = a_{m}$ （ $m, k$ 是大于2的正整数）求证： $S_{k - 1} = (m - 1) a_{1}$ ；

(2)、若 $b_{3} = a {}_{i}$ （ $i$ 是某个确定的正整数），求证:数列 ${b_{n}}$ 中每个项都是数列 ${a_{n}}$ 的项.

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