江苏省苏州市2020-2021学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-12-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知a>b，c>d>0，则（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、a-c> b-d C、 $\frac{a}{c} > \frac{b}{d}$ D、 $\frac{d}{c} < \frac{d + 4}{c + 4}$

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2. 关于x的不等式 $\frac{x + 1}{x - 2} \geq 0$ 的解集为（）

A、(-∞，-1]∪(2，+∞) B、[-1，2) C、(-∞，-1] $\cup$ [2，+∞) D、[-1，2]

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3. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公差 $d = 1$ ，且 $S_{6} - S_{2} = 10$ ，则 $a_{3} + a_{4} =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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4. 若不等式 $a x^{2} + b x - 1 < 0$ 的解集为 ${x | - 1 < x < 2},$ 则a+b的值为（）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、0 C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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5. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} a_{3} a_{4} = 1$ ， $a_{6} a_{7} a_{8} = 64$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、2 B、-2 C、±2 D、4

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6. 已知在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2, a_{n + 1} = \frac{n}{n + 1} a_{n}$ ，则 $a_{2020}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2020}$ B、 $\frac{1}{2019}$ C、 $\frac{1}{1010}$ D、 $\frac{1}{1009}$

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7. 已知a>0，b>0，a+b=3，则 $y = \frac{4}{a} + \frac{1}{b + 1}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{9}{8}$ B、 $\frac{9}{4}$ C、 $\frac{9}{2}$ D、9

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8. 已知数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = 2 λ {(- \frac{1}{2})}^{n - 1} - n^{2}$ ，若数列 ${b_{n}}$ 是单调递减数列，则实数λ的取值范围是（）

A、 $(- 1, \frac{10}{3})$ B、 $(- \frac{1}{2}, \frac{10}{3})$ C、(-1，1) D、 $(- \frac{1}{2}, 1)$

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二、多选题

9. 下列说法正确的有（）

A、“a=b”是“ac=bc”的充分不必要条件 B、“ $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ ”是“a<b”的既不充分又不必要条件 C、“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件 D、“a>b>0”是“ $a^{n} > b^{n} (n \in N, n \geq 2)$ ”的充要条件

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10. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n},$ 且 $a_{1} > 0, 2 a_{5} + a_{11} = 0,$ 则（）

A、 $a_{8} < 0$ B、当且仅当n= 7时， $S_{n}$ 取得最大值 C、 $S_{4} = S_{9}$ D、满足 $S_{n} > 0$ 的n的最大值为12

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11. 已知a，b均为正实数，且a+b=1，则（）

A、 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$ B、 $a b + \frac{1}{a b}$ 的最小值为2 C、 $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ 的最大值为 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最大值为4

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12. 对于数列 ${a_{n}}$ ，定义： $b_{n} = a_{n} - \frac{1}{a_{n}} (n \in N^{*})$ ，称数列 ${b_{n}}$ 是 ${a_{n}}$ 的“倒差数列”下列叙述正确的有（）

A、若数列 ${a_{n}}$ 单调递增，则数列 ${b_{n}}$ 单调递增 B、若数列 ${b_{n}}$ 是常数列，数列 ${a_{n}}$ 不是常数列，则数列 ${a_{n}}$ 是周期数列 C、若 $a_{n} = 1 - {(- \frac{1}{2})}^{n}$ ，则数列 ${b_{n}}$ 没有最小值 D、若 $a_{n} = 1 - {(- \frac{1}{2})}^{n}$ ，则数列 ${b_{n}}$ 有最大值

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三、填空题

13. 命题“ $\exists x \in R, x^{2} - 2 x + m \leq 0$ ”的否定是．

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14. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{3} \cdot a_{8} = 10$ ，则 $a_{5}^{3} \cdot a_{7}$ 的值为．

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15. 已知 $x > 0 ， y > 0 ， x + 3 y + x y = 9 ，$ ，则 $x + 3 y$ 的最小值为．

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四、双空题

16. 大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．大衍数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，其前10项依次是0， 2，4， 8，12， 18， 24， 32， 40， 50，则此数列第19项的值为．此数列的通项公式 $a_{n} =$ ．

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五、解答题

17. 在①f(x+1)-f（x）=2ax，②f （x）的对称轴为 $x = \frac{1}{2}$ ，③f（1）=2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并回答下面问题．
已知二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + 1$ ，若______，且不等式f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，试求实数a的取值范围．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 是公比 $q > 1$ 的等比数列，若 $a_{1} + a_{2} + a_{3} = 14$ ，且 $a_{2} + 1$ 是 $a_{1}$ 、 $a_{3}$ 的等差中项．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \log_{2} a_{n}$ ，数列 ${\frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若 $T_{n} < \frac{m}{2} - 1$ 对 $n \in N^{*}$ 恒成立，求满足条件的自然数 $m$ 的最小值．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2,$ 且满足 $a_{n + 1} - 2 a_{n} = 2^{n + 1} (n \in N^{*})$ ．

(1)、求证：数列 ${\frac{a_{n}}{2^{n}}}$ 是等差数列，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式;

(2)、求证：对于数列 ${b_{n}}$ ， $b_{1} + 2 b_{2} + \dots + n b_{n} = a_{n}$ 的充要条件是 $b_{n} = \frac{(n + 1) 2^{n - 1}}{n}$ .

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{a \cdot 2^{x} + 1}{2^{x} - 1}$ ， $a \in R$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) > 3$ 的解集;

(2)、若不等式 $| f (2 x) - f (x) | \leq 1$ 对任意 $x \in [1, 2]$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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21. 如图，某森林公园内有一条宽为2百米的笔直的河道(假设河道足够长)，现拟在河道内围出一块直角三角形区域养殖观赏鱼．三角形区域记为 $△$ ABC，A到河两岸距离AE，AD相等，B，C分别在两岸上，AB⊥AC 便游客观赏，拟围绕 $△$ ABC区域在水面搭建景观桥，桥的总长度(即 $△$ ABC的周长)为l．设 $E C = x$ 百米．

(1)、试用x表示线段BC的长度；

(2)、求l关于x的函数解析式f（x），并求f （x）的最小值．

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22. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，公差为d，前n项和为 $S_{n} .$

(1)、若 $a_{1} = 0, d = 2$ ，求 $S_{100}$ 的值;

(2)、若 $a_{1} = - 1,$ ${a_{n}}$ 中恰有6项在区间 $(\frac{1}{2}, 8)$ 内，求d的取值范围;

(3)、若 $a_{1} = 1, S_{2} = 3$ ，集合 $A = {a_{n} ∣ n \in N^{*}}$ ，问能否在集合A中抽取到无穷多个不全相等的元素组成一个新数列 ${b_{n}}$ ，使得此新数列 ${b_{n}}$ 满足从第二项开始，每一项都等于它的前一项和后一项的调和平均数．若能，请举例说明;若不能，请说明理由．(注：数 $\frac{2 a b}{a + b}$ 叫作数a和数b的调和平均数)．

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