广西南宁2020-2021学年高一上学期数学期末模拟试卷

试卷更新日期：2020-12-08 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x < 2}$ ， $B = {x | 3 - 2 x > 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | x < \frac{3}{2}}$ B、 ${x | x < 2}$ C、 ${x | \frac{3}{2} < x < 2}$ D、R

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2. $\sin 600 °$ 的值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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3. 已知扇形的圆心角为1，弧长为2，则扇形面积为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 若 $\tan α = - \frac{1}{2}$ ，且 $\cos α < 0$ ，则 $\sin (\frac{π}{2} + α) =$ （）

A、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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5. 已知角 $α$ 的顶点在坐标原点，始边在 $x$ 轴非负半轴上，终边与单位圆交于 $P (- \frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，则 $\sin α =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- \sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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6. 已知 $a = l o g_{5} 6 ， b = l o g_{0.5} 2$ ， $c = {0.5}^{0.2}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a < c < b$ B、 $a < b < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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7. 函数 $f (x) = \ln x - \frac{1}{x}$ 的零点所在的大致区间是（）

A、 $(\frac{1}{e} ， 1)$ B、 $(1 ， e)$ C、 $(e ， e^{2})$ D、 $(e^{2} ， e^{3})$

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8. 已知关于 $x$ 的方程 $| 2^{x} - m | = 1$ 有两个不等实根，则实数 $m$ 的取值范围是 $($ $)$

A、 $(- \infty$ ， $- 1]$ B、 $(- \infty ， - 1)$ C、 $[1$ ， $+ \infty)$ D、 $(1 ， + \infty)$

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9. 若将函数 $f (x) = \sin (2 x + φ) (0 < φ < π)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后.得到的函数图象关于 $(\frac{π}{2} ， 0)$ 对称.则函数 $g (x) = \cos (x + φ)$ 在 $[- \frac{π}{2} ， \frac{π}{6}]$ 上的最小值是（）．

A、-1 B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、0

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10. 若关于 $x$ 的不等式 $\log_{2} (a x^{2} - 2 x + 3) > 0$ 的解集为 $R$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{3})$ B、 $(0 ， \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ D、 $(\frac{1}{3} ， + \infty)$

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11. 已知曲线 $C_{1} ： y = \sin (2 x - \frac{π}{3}) ， C_{2} ： y = \cos x$ ，则下面结论正确的是（）

A、先将曲线 $C_{2}$ 向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，再把所得的曲线上各点横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标保持不变，便得到曲线 $C_{1}$ B、先将曲线 $C_{2}$ 向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，再把所得的曲线上各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变，便得到曲线 $C_{1}$ C、先将曲线 $C_{2}$ 向左平移 $\frac{5 π}{6}$ 个单位长度，再把所得的曲线上各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变，便得到曲线 $C_{1}$ D、先将曲线 $C_{2}$ 向右平移 $\frac{5 π}{6}$ 个单位长度，再把所得的曲线上各点横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标保持不变，便得到曲线 $C_{1}$

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12. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， - π < φ < 0)$ 的部分图象如图所示.则 $f (x)$ 的解析式为（）．

A、 $f (x) = 2 \sin (x - \frac{π}{12})$ B、 $f (x) = 2 \sin (2 x - \frac{π}{3})$ C、 $f (x) = 2 \sin (2 x - \frac{π}{6})$ D、 $f (x) = 2 \sin (3 x - \frac{3 π}{4})$

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二、填空题

13. 已知正数a，b满足 $a + b = 1$ ，则 $\frac{b}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为.

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14. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 R上的奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = 2^{x} - 1$ ，则 $f (f (- 1))$ 的值为．

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} x^{2} + x ， x \geq 0 \\ x - x^{2} ， x < 0 \end{matrix}$ ，若 $f (a) > f (2 - a)$ ，则 $a$ 的取值范围是.

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16. 设 $a < 0$ ，若关于 $x$ 的不等式 $(4 x^{2} + a) (x + 2 b) \geq 0$ 对任意的 $x \in (a ， b)$ 恒成立，则 $b - a$ 的最大值为.

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三、解答题

17. 已知 $\frac{\tan α}{\tan α - 1} = - 1$ ，求下列各式的值：

(1)、 $\frac{\sin α - 3 \cos α}{\sin α + \cos α}$ ；

(2)、 $\sin^{2} α + \sin α \cdot \cos α + 2$ .

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18. 已知集合 $A = {x | - 1 \leq x \leq 6}$ ，集合 $B = {x | m - 1 \leq x \leq 2 m + 1}$ .

(1)、当 $m = 2$ 时，求 $A \cap B$ ， $A \cap (C_{R} B)$ ；

(2)、若 $A \cup B = A$ ，求实数m的取值范围.

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19. 已知函数 $g (x) = A \sin (ω x + ϕ) + k (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < ϕ < π)$ 的部分图象如图所示，将函数 $g (x)$ 的图象保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，得到函数 $f (x)$ 的图象．

(1)、求函数 $g (x)$ 的解析式；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{12}]$ 上的值域；

(3)、求使 $f (x) \geq 2$ 成立的 $x$ 取值的集合．

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20. 宜城市流水镇是全国闻名的西瓜基地，流水西瓜含糖量高，口感好，多次入选全国农博会并获金奖，畅销全国12省百余个大中城市.实践证明西瓜的产量和品质与施肥关系极大，现研究发现该镇礼品瓜“金皇后”的每亩产量 $L$ （单位：百斤）与施用肥料 $x$ （单位：百斤）满足如下关系： $L (x) = {\begin{array}{l} 8 (x^{2} + 2) ， 0 < x \leq \frac{3}{2} \\ \frac{60 x}{1 + x} ， \frac{3}{2} < x \leq 3 \end{array}$ ，肥料成本投入为 $5 x$ （单位：百元），其它成本投入为 $10 x$ （单位：百元）.已知“金皇后”的市场批发价为2元/斤，且销路畅通供不应求，记每亩“金皇后”的利润为 $f (x)$ （单位：百元）.

(1)、求 $f (x)$ 的函数关系式；

(2)、当施用肥料为多少斤时，每亩“金皇后”的利润最大，最大利润是多少元？
（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ）.

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21. 已知不等式 $(a x - 1) (x + 1) > 0 (a \in R)$ .

(1)、解这个关于 $x$ 的不等式，最后结果用集合形式表示；

(2)、若当 $x = - a$ 时不等式成立，求 $a$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = b a^{x}$ (其中 $a ， b$ 为常量，且 $a > 0 ， a \neq 1$ )的图像经过点 $M (1 ， 1) ， N (3 ， 9)$ ．

(1)、求 $a + b$ 的值；

(2)、当 $x \leq - 3$ 时，函数 $y = {(\frac{1}{a})}^{x} + \frac{1}{b}$ 的图像恒在函数 $y = 2 x + t$ 图像的上方，求实数 $t$ 的取值范围；

(3)、是否存在实数 $m ， n$ ，使得函数 $y = 2 x + \log_{3} f (x^{2})$ 的定义域为 $[m ， n]$ ，值域为 $[4 m ， 4 n]$ ?若存在，求出 $m ， n$ 的值；若不存在，则说明理由.

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