浙江省温州新力量联盟2020-2021学年高一上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2020-12-07 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | (x - 1) (x + 1) = 0}$ ，则（）

A、 $\emptyset \in A$ B、 $1 \in A$ C、 $- 1 \subseteq A$ D、 $A \subseteq {- 1}$

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2. 命题“ $\exists x \geq 1$ ，使 $x^{2} > 1$ .”的否定形式是（）

A、“ $\exists x < 1$ ，使 $x^{2} > 1$ .” B、“ $\exists x < 1$ ，使 $x^{2} \leq 1$ .” C、“ $\forall x \geq 1$ ，使 $x^{2} > 1$ .” D、“ $\forall x \geq 1$ ，使 $x^{2} \leq 1$ .”

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3. 以下函数中为奇函数的是（）

A、 $y = - 2 x$ B、 $y = 2 - x$ C、 $y = x^{2}$ D、 $y = \frac{2}{x}$ ， $x \in (0, 1)$

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4. 设 $x \in R$ ，则“ $0 < x < 5$ ”是“ $1 < 2 x + 1 < 3$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 下列函数中，与函数 $y = x + 1$ 是相等函数的是（）

A、 $y = {(\sqrt{x + 1})}^{2}$ B、 $y = \sqrt[3]{x^{3}} + 1$ C、 $y = \frac{x^{2}}{x} + 1$ D、 $y = \sqrt{x^{2}} + 1$

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6. 已知函数y＝ ${\begin{array}{l} x^{2} + 1, x \leq 0 \\ - 2 x, x > 0 \end{array}$ ，则使函数值为 $5$ 的 $x$ 的值是（）

A、-2或2 B、2或 $- \frac{5}{2}$ C、-2 D、2或-2或 $- \frac{5}{2}$

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7. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，在 $(- \infty, 0]$ 上单调，且 $f (- 2) < f (1)$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $f (- 1) < f (2) < f (3)$ B、 $f (2) < f (3) < f (- 4)$ C、 $f (- 2) < f (0) < f (\frac{1}{2})$ D、 $f (5) < f (- 3) < f (- 1)$

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8. 已知函数 $g (\sqrt{x} + 2) = x + 4 \sqrt{x} - 6$ ，则 $g (x)$ 的最小值是（）

A、-6 B、-8 C、-9 D、-10

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9. 若关于 $x$ 的不等式 $x^{2} + a x - 2 < 0$ 在区间 $[1, 5]$ 上有解，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \frac{23}{5}, 1)$ B、 $(- \infty, - \frac{23}{5}]$ C、 $(- \infty, 1)$ D、 $(- \infty, 1]$

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10. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x ， x \leq 0 \\ - x^{2} + 2 x ， x > 0 \end{array}$ ，则 $k \in (0 ， 1)$ 时，关于 $x$ 的方程 $f [f (x)] = k$ 的根的个数是（）

A、6 B、5 C、4 D、3

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二、多选题

11. 若幂函数 $f (x) = x^{α}$ 的图象经过点 $(2, \frac{1}{2})$ ，则函数 $f (x)$ 具有的性质是（）

A、在定义域内是减函数 B、图象过点 $(1, 1)$ C、是奇函数 D、其定义域是 $R$

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12. 如果 $a < b < 0$ ，那么下列不等式正确的是（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $a c^{2} < b c^{2}$ C、 $a + \frac{1}{b} < b + \frac{1}{a}$ D、 $a^{2} > a b > b^{2}$

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13. 设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，满足 $f (x + 1) = 2 f (x)$ ，且当 $x \in (0 ， 1]$ 时， $f (x) = x (x - 1)$ .若对任意 $x \in (- \infty ， m]$ ，都有 $f (x) \geq - \frac{8}{9}$ ，则实数 $m$ 的值可以是（）

A、 $\frac{9}{4}$ B、 $\frac{7}{3}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{8}{3}$

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三、填空题

14. 已知集合 $A = {x | a x = 1}$ ， $B = {1, 2}$ ，若 $A \subseteq B$ ，则实数 $a$ 的取值集合是.

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15. 若函数 $f (x) = 2 x^{2} + m x - 1$ 在区间 $[1, + \infty)$ 上是单调递增函数，则实数 $m$ 的取值范围是.

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16. 若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = 4$ ，则下列不等式中恒成立的是.① $\frac{1}{a b} > \frac{1}{2}$ ；② $a^{2} + b^{2} \geq 8$ ；③ $\sqrt{a b} \geq 2$ ；④ $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 1$ .

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17. 设函数 $f (x) = | \frac{x - 1}{x} |$ ，当a＜b，且f（a）=f（b）时，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ = ．

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四、解答题

18. 已知集合 $A = {x | x < a + 3}$ ， $B = {x | \frac{x - 5}{x + 1} > 0}$ .

(1)、若 $a = - 2$ ，求 $A \cap (∁_{R} B)$ ；

(2)、若 $x \in A$ 是 $x \in B$ 的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 | x |$ ， $x \in R$ .

（Ⅰ）在给定的直角坐标系内作出函数 $f (x)$ 的图象（不用列表）；

（Ⅱ）由图象写出函数 $f (x)$ 的单调区间，并指出单调性（不要求证明）；

（Ⅲ）若关于 $x$ 的方程 $f (x) = t$ 有3个不相等的实数根，求实数 $t$ 的值（只需要写出结果）.

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20. 已知关于 $x$ 的不等式 $k x^{2} - 2 x + 6 k < 0$ .

(1)、若不等式的解集为 $(2, 3)$ ，求实数 $k$ 的值；

(2)、若 $k > 0$ ，且不等式对 $\forall x \in (1, 3)$ 都成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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21. 设函数 $f (x)$ 是定义在 $(- 4, 4)$ 上的奇函数，已知 $f (2) = 1$ ，且当 $- 4 < x \leq 0$ 时， $f (x) = \frac{m x + n}{x + 4}$ .
（Ⅰ）求 $x \in (0, 4)$ 时，函数 $f (x)$ 的解析式；

（Ⅱ）判断函数 $f (x)$ 在 $(0, 4)$ 上的单调性，并用定义证明.

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22. 新型冠状病毒感染的肺炎治疗过程中，需要某医药公司生产的某种药品.此药品的年固定成本为250万元，每生产 $x$ 千件需另投入成本为 $C (x)$ .当年产量不足80千件时， $C (x) = \frac{1}{3} x^{2} + 10 x$ （万元）.当年产量不小于80千件时， $C (x) = 51 x + \frac{10000}{x} - 1450$ （万元）.每件商品售价为0.05万元，在疫情期间，该公司生产的药品能全部售完.
（Ⅰ）写出年利润 $L (x)$ （万元）关于年产量 $x$ （千件）的函数解析式；

（Ⅱ）该公司决定将此药品所获利润的 $1 %$ 用来捐赠防疫物资.当年产量为多少千件时，在这一药品的生产中所获利润最大？此时可捐赠多少万元的物资款？

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23. 如果一个函数的值域与其定义域相同，则称该函数为“同域函数”.已知函数 $f (x) = \sqrt{a x^{2} + b x + a + 1}$ 的定义域为 ${x | a x^{2} + b x + a + 1 \geq 0$ 且 $x \geq 0}$ .
（Ⅰ）若 $a = - 2$ ， $b = 3$ ，求 $f (x)$ 的定义域；

（Ⅱ）当 $a = 1$ 时，若 $f (x)$ 为“同域函数”，求实数 $b$ 的值；

（Ⅲ）若存在实数 $a < 0$ 且 $a \neq - 1$ ，使得 $f (x)$ 为“同域函数”，求实数 $b$ 的取值范围.

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