上海市崇明区2020-2021学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-12-07 类型：期中考试

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一、单选题

1. 以下对数式中，与指数式 $5^{x} = 6$ 等价的是（）

A、 $\log_{5} 6 = x$ B、 $\log_{5} x = 6$ C、 $\log_{6} x = 5$ D、 $\log_{x} 6 = 5$

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2. 下列选项是真命题的是（）

A、若 $a < b$ ，则 $a c^{2} < b c^{2}$ B、若 $a < b$ ， $c < d$ ，则 $a - c < b - d$ C、若 $a > b > 0$ ， $c < d < 0$ ，则 $a c > b d$ D、若 $b < a < 0$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$

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3. 已知命题“若 $α$ ，则 $β$ ”是真命题，集合 $M = {x | x$ 满足 $α}$ ，集合 $N = {x | x$ 满足 $β}$ .下列判断正确的是（）

A、 $M \subset N$ B、 $M \subseteq N$ C、 $M = N$ D、 $M \supseteq N$

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4. 已知不等式 $x^{2} + a x + b > 0 (a > 0)$ 的解集是 ${x | x \neq d}$ ，则下列四个命题：
① $a^{2} - b^{2} ≤ 4$ ：② $a^{2} + \frac{1}{b} ≥ 4$ ；③ 若不等式 $x^{2} + a x - b < 0$ 的解集为 $(x_{1}, x_{2})$ ，则 $x_{1} x_{2} > 0$ ；④ 若不等式 $x^{2} + a x + b < c$ 的解集为 $(x_{1}, x_{2})$ ，且 $| x_{1} - x_{2} | = 4$ ，则 $c = 4$ .

其中真命题的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

5. 设集合 $A = {1, 2, 3}$ ，集合 $B = {3, 4}$ ，则 $A \cup B =$ .

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6. 集合 ${x | 0 ≤ x ≤ 3, x \in Z}$ 用列举法可以表示为.

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7. 不等式|x-1|<3 的解集是.

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8. 已知集合 $A = {(x, y) | 2 x + y = 5}$ ， $B = {(x, y) | 3 x + 2 y = 8}$ ，则 $A \cap B =$ .

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9. 已知方程 $2 x^{2} + 4 x - 3 = 0$ 的两个根为 $x_{1}$ ､ $x_{2}$ ，则 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} =$ .

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10. 已知集合 $A = {- 1, 3, 2 m - 1}$ ，集合 $B = {3, m^{2}}$ ，若 $B \subseteq A$ ，则实数 $m =$ .

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11. 已知 $b \in R$ ， $c \in R$ ，关于 $x$ 的一元二次不等式 $x^{2} + b x + c < 0$ 的解集为 $(1, 2)$ ，则 $b + c =$ .

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12. 某服装公司生产的衬衫每件销售价 $80$ 元，在某城市年销售 $8$ 万件.现服装公司将每件衬衫的销售价降低到 $\frac{80}{1 + r %}$ 元，但降价后每年的销售量会增加 $0.62 r$ 万件，则降价后，公司在该城市的销售额（销售额 $=$ 销售价 $\times$ 销售量）等于（单位：万元）.

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13. 已知 $x, y$ 都是正实数，且 $x y = 2$ ，则当 $x =$ 时， $x + 2 y$ 取得最小值.

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14. 不等式 $\frac{2 x - a}{x + a} > 0$ 的解集为 $M$ ，且 $2 \notin M$ ，则实数 $a$ 的取值范围是.

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15. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ 且 $a + b = 3$ .式子 $\frac{2021}{a + 2019} + \frac{2021}{b + 2020}$ 的最小值是.

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16. 从集合 $U = {1, 2, 3, 4, 5}$ 的子集中选出两个非空集合 $A, B$ ，满足以下两个条件：① $A \cup B = U$ ， $A \cap B = \emptyset$ ；②若 $x \in A$ ，则 $x + 1 \in B$ .共有种不同的选择.

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三、解答题

17.

(1)、计算： $2 \log_{5} 10 + \log_{5} 3 - \log_{5} 12$ ；

(2)、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，化简： $\frac{(2 a^{\frac{2}{3}} b^{\frac{1}{2}}) (- 6 a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{3}})}{3 a^{\frac{1}{6}} b^{\frac{5}{6}}}$ .

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18. 解下列不等式：

(1)、 $- 2 x^{2} + 3 x - \frac{1}{2} ≤ 0$ ；

(2)、 $\frac{5 x + 3}{x - 1} ≤ 3$ .

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19. 已如全集为 $R$ ，集合 $A = {x | 0 < 2 x + a ≤ 3}$ ， $B = {x | - \frac{1}{2} < x < 2}$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $A \cup \bar{B}$ ；

(2)、若 $A \cap B = A$ ，求实数 $a$ 的范围.

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20.

(1)、已知 $m$ 是实数，集合 $M = {2, 3, m + 6}$ ， $N = {0, 7}$ .求证：“ $m = 1$ ”是“ $M \cap N = {7}$ ”的充要条件.

(2)、设 $x, y \in R$ .用反证法证明命题“若 $x + y > 2$ ，则 $x > 1$ 或 $y > 1$ .”

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21. 若实数x、y、m满足 $| x - m | > | y - m |$ ，则称x比y远离m．

(1)、若x比y远离1且 $x + y = 1$ ，求实数x的取值范围；

(2)、设 $y = \frac{x + 2}{x + 1}$ ，其中 $x \in (0, \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, + \infty)$ ，求证：x比y更远离 $\sqrt{2}$ ；

(3)、若 $x + y = 2$ ，试问：y与 $x^{2} + y^{2}$ 哪一个更远离 $\frac{1}{2}$ ，并说明理由．

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