人教A版（2019）必修一 4.5 对数函数图象和性质

试卷更新日期：2020-12-06 类型：同步测试

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一、单选题

1. 已知 $a = l o g_{5} 6, b = l o g_{0.5} 2$ ， $c = {0.5}^{0.2}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $a < c < b$ B、 $a < b < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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2. 函数y＝ln（1﹣x）的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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3. 设函数 $f (x) = \ln | 2 x + 1 | - \ln | 2 x - 1 |$ ，则f(x)（）

A、是偶函数，且在 $(\frac{1}{2}, + \infty)$ 单调递增 B、是奇函数，且在 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ 单调递减 C、是偶函数，且在 $(- \infty, - \frac{1}{2})$ 单调递增 D、是奇函数，且在 $(- \infty, - \frac{1}{2})$ 单调递减

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4. 已知定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 满足：当 $x \in [0 ， + \infty)$ 时， $f (x) = 2020^{x}$ ，若 $a = f (\ln 3 e) ， b = f ({0.2}^{0.3}) ， c = f ({(- \frac{2}{3})}^{- 1})$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系是（）

A、 $b < a < c$ B、 $c < b < a$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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5. 设函数 $f (x) = {\begin{matrix} | x + 1 | ， x \leq 0 ， \\ | \log_{4} x | ， x 〉 0 ， \end{matrix}$ 若关于 $x$ 的方程 $f (x) = a$ 有四个不同的解 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4} ，$ 且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4} ，$ 则 $x_{3} (x_{1} + x_{2}) + \frac{1}{x_{3}^{2} x_{4}}$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1 ， \frac{7}{2}]$ B、 $(- 1 ， \frac{7}{2})$ C、 $(- 1 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， \frac{7}{2}]$

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6. 已知函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $R$ , $f (x + 1)$ 为偶函数，且对 $\forall x_{1} < x_{2} \leq 1$ ，满足 $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} < 0$ .若 $f (3) = 1$ ，则不等式 $f (\log_{2} x) < 1$ 的解集为（）

A、 $(\frac{1}{2}, 8)$ B、 $(1, 8)$ C、 $(0, \frac{1}{2}) \cup (8, + \infty)$ D、 $(- \infty, 1) \cup (8, + \infty)$

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7. 用 $[x]$ 表示 $x$ 的整数部分，即 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，例如： $[2] = 2, [2.3] = 2, [- 2.3] = - 3$ ，设函数 $h (x) = \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$ ，则函数 $f (x) = [h (x)] + [h (- x)]$ 的值域为（）

A、{0} B、 ${- 1, 0, 1}$ C、 ${- 1, 0}$ D、 ${- 2, 0}$

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8. 已知函数 $f (x) = | \ln (x - 1) |$ ，满足 $f (a) > f (4 - a)$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、(1,2) B、(2,3) C、(1,3) D、(2,4)

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9. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \log_{2} x ， (x > 0) \\ 2^{- x} ， (x \leq 0) \end{array}$ ，则不等式 $f (x) > 1$ 的解集为（）

A、 $(2 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 0)$ C、 $(0 ， 2)$ D、 $(- \infty ， 0) \cup (2 ， + \infty)$

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10. 函数 $f (x) = \frac{x}{\sqrt{x - 2}} + \lg (3 - x)$ 的定义域为（）

A、 $(2 ， 3)$ B、 $(- \infty ， 2)$ C、 $(3 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 2) \cup (3 ， + \infty)$

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11. 设函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x \in (0, + \infty)$ 时， $f (x) = \lg x$ ，则满足 $f (x) > 0$ 的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(1, + \infty)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(- 1, 0) \cup (1, + \infty)$ D、 $(0, 1) \cup (- \infty, - 1)$

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二、填空题

12. 不等式 $3^{x^{2} - 3 x + 1} > {(\frac{1}{3})}^{x}$ 的解集是；不等式 $\log_{2} (2 - x) < \log_{4} x$ 的解集是.

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13. 关于下列结论：
①函数y=2^x的图象与函数y=log₂x的图象关于y轴对称；

②函数y=a^x+2(a>0且a≠1)的图象可以由函数y=a^x的图象平移得到；

③方程log₅(2x+1)=log₅(x²-2)的解集为{-1,3}；

④函数y=ln(1+x)-ln(1-x)为奇函数.

其中不正确的是.

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14. 函数 $y = \log_{\frac{1}{2}} (x^{2} - 2 x)$ 的单调递增区间是．

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15. 已知 $f (x) = 2 + \log_{3} x (1 \leq x \leq 9)$ ，则函数 $y = {[f (x)]}^{2} + f (x^{2})$ 的最大值为．

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16. 函数 $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 2 x + 3)$ 的单调递减区为，值域为．

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17. 方程 $\lg (2 x + 3) = 2 \lg x$ 的解为.

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三、解答题

18. 已知 $a > 0$ 且满足不等式 $2^{2 a + 1} > 2^{5 a - 2}$ ．

(1)、求实数a的取值范围．

(2)、求不等式 ${log}_{a} (3 x + 1) < {log}_{a} (7 - 5 x)$ ．

(3)、若函数 $y = {log}_{a} (2 x - 1)$ 在区间 $[1 ， 3]$ 有最小值为-2，求实数a值．

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19. 已知 $\log_{a} 3 > \log_{a} 2$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），若函数 $f (x) = \log_{a} x$ 在区间 $[a, 3 a]$ 上的最大值与最小值之差为1．

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、若 $1 \leq x \leq 3$ ，求函数 $y = {(\log_{a} x)}^{2} - \log_{a} \sqrt{x} + 2$ 的值域．

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20. 某公司制定了一个激励销售人员的阶梯奖励方案：当销售利润不超过 $10$ 万元时，按销售利润的 $15 %$ 进行奖励；当销售利润超过 $10$ 万元时，若超出 $A$ 万元，则超出部分奖励 $2 \log_{4} (A + 1)$ 万元．记奖金为 $y$ （单位：万元），销售利润为 $x$ （单位：万元）．

(1)、写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式；

(2)、如果业务员小江获得 $5.5$ 万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？

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21. 已知函数f(x)＝lg(1＋x)＋lg(1－x)．

(1)、求函数f(x)的定义域；

(2)、判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = 4^{x} + n \cdot 4^{- x}$ 为奇函数， $g (x) = \log_{2} (2^{x} + 1) + m x$ 为偶函数.

(1)、求 $m n$ 的值；

(2)、若不等式 $f (x) > g (\log_{2} a) + \log_{2} \sqrt{a}$ 在区间 $[1, + \infty)$ 上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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一、单选题

二、填空题

三、解答题

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