人教A版（2019）必修一 4.4 对数函数

试卷更新日期：2020-12-06 类型：同步测试

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一、单选题

1. 函数 $y = \ln \sqrt{a x^{2} + 2 x - 1}$ 的值域为 $R$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[0 ， + \infty)$ B、 $[- 1 ， 0) \cup (0 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 1)$ D、 $[- 1 ， 1)$

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2. 函数y＝ $\sqrt{\log_{\frac{1}{2}} (x^{2} - 1)}$ 的定义域是（）

A、[－ $\sqrt{2}$ ，－1)∪(1， $\sqrt{2}$ ] B、[－ $\sqrt{2}$ ，－1)∪(1， $\sqrt{2}$ ) C、[－2，－1)∪(1，2] D、(－2，－1)∪(1，2)

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3. 函数y=log_a（x+4）-1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m，n均大于0，则 $\frac{1}{m} + \frac{2}{n}$ 的最小值为（）

A、2 B、6 C、 $5 + 2 \sqrt{6}$ D、10

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4. 已知集合 $A = {x | 3 x^{2} + x - 2 \leq 0}$ ， $B = {x | \log_{2} (2 x - 1) \leq 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[- 1 ， \frac{2}{3}]$ B、 $[\frac{2}{3} ， 1]$ C、 $(\frac{1}{2} ， 1]$ D、 $(\frac{1}{2} ， \frac{2}{3}]$

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5. 在 $Δ A B C$ 中，A为锐角， $\lg b + \lg (\frac{1}{c}) = \lg \sin A = - \lg \sqrt{2}$ ，则 $Δ A B C$ 为（）

A、等腰三角形 B、等边三角形 C、直角三角形 D、等腰直角三角形

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6. 已知 $a = 7^{0.6}$ ， $b = \log_{7} 6$ ， $c = \log_{0.6} 7$ ，则（）

A、 $a > c > b$ B、 $a > b > c$ C、 $c > a > b$ D、 $b > a > c$

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7. 已知函数 $f (x) = ln x + ln(2 - x)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在（0，2）单调递增 B、 $f (x)$ 在（0，2）单调递减 C、 $y = f (x)$ 的图像关于直线x=1对称 D、 $y = f (x)$ 的图像关于点（1，0）对称

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8. 函数 $f (x) = \log_{a} (x + 2) - 1$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象经过定点（）

A、 $(- 1 ， - 1)$ B、 $(- 1 ， 0)$ C、 $(- 2 ， 2)$ D、 $(- 2 ， 0)$

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9. 若函数 $f (x) = \log_{a} x$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）在区间 $[a ， 2 a^{2}]$ 上的最大值比最小值多2，则 $a =$ （）

A、2或 $\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ B、3或 $\frac{1}{3}$ C、4或 $\frac{1}{2}$ D、2或 $\frac{1}{2}$

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10. 函数y＝2log₄(1－x)的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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11. 函数 $f (x) = \log_{a} (x + 2) (0 < a < 1)$ 的图象必不过（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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12. 已知函数 $y = a^{x} (a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）是增函数，那么函数 $f (x) = \log_{a} \frac{1}{x - 1}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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13. 若函数 $f (x) = \log_{2} (x^{2} - a x - 3 a)$ 在区间 $(- \infty ， - 2]$ 上是减函数，则实数的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 4]$ B、 $(- 4 ， 4)$ C、 $(- \infty ， 4) \cup [2 ， + \infty)$ D、 $[- 4 ， 4)$

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14. 若函数 $f (x)$ 的图像与函数 $g (x) = 10^{x}$ 的图像关于直线 $y = x$ 对称，则 $f (100) =$ （）

A、10 B、-1 C、2 D、-2

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二、填空题

15. 已知函数 $f (x) = \lg (a x^{2} + 6 x + 18)$ .若 $f (x)$ 的定义域为R，则实数a的取值范围是；若 $f (x)$ 的值域为R，则实数a的取值范围是.

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16. 已知函数 $f (x) = 4 + \log_{a} (2 x - 3)$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象恒过定点P，且点P在函数 $g (x) = x^{α}$ 的图象上，则 $α =$ .

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17. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \log_{2} x ， x > 0 \\ \log_{\frac{1}{2}} (- x) ， x < 0 \end{array}$ ，若 $f (a) > f (- a)$ ，则实数 $a$ 的取值范围是．

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18. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (a - 1) x - 2 a ， x \leq 1 \\ \log_{\frac{1}{3}} x ， x > 1 \end{array}$ 的值域是 $R$ ，则实数 $a$ 的取值范围是．

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19. 若函数 $y = f (x)$ 的定义域是 $[0 ， 2]$ ，则函数 $g (x) = \frac{f (2 x)}{\sqrt{\log_{0.5} (4 x - 3)}}$ 的定义域是．

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三、解答题

20. 已知函数 $f (x) = \log_{5} (3 a x + b)$ ，其中 $a ， b$ 为常数，且 $f (40) = 3 ， f (0) = 1$ .

(1)、求实数 $a ， b$ 的值；

(2)、若对于任意 $x \in [- 1 ， + \infty)$ ，不等式 $5^{x} > m - f (x)$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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21. 已知二次函数 $f (x)$ 满足 $f (0) = 2$ ，且 $f (x + 1) - f (x) = 2 x + 3$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设函数 $h (x) = f (x) - 2 t x$ ，当 $x \in [1 ， + \infty)$ 时，求 $h (x)$ 的最小值；

(3)、设函数 $g (x) = \log_{\frac{1}{2}} x + m$ ，若对任意 $x_{1} \in [1 ， 4]$ ，总存在 $x_{2} \in [1 ， 4]$ ，使得 $f (x_{1}) > g (x_{2})$ 成立，求m的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = \lg (1 + x) + \lg (1 - x)$

(1)、求函数 $f (x)$ 的定义域；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性；

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23. 已知函数 $f (x) = (a^{2} - 3 a + 3) a^{x}$ 是指数函数．

(1)、求 $f (x)$ 的表达式；

(2)、判断 $F (x) = f (x) - f (- x)$ 的奇偶性，并加以证明；

(3)、解不等式： $\log_{a} (1 - x) > \log_{a} (x + 2)$ ．

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一、单选题

二、填空题

三、解答题

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