浙江省杭州地区(含周边)重点中学2020-2021学年高三上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-12-05 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $P = {x | 1 < x < 4}$ ， $Q = {x | 0 < x < 2}$ ，则 $P \cup Q =$ （）

A、 ${x | 0 < x \leq 1}$ B、 ${x | 1 < x < 2}$ C、 ${x | 2 < x < 4}$ D、 ${x | 0 < x < 4}$

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2. 复数 $z = \frac{1 + i}{i}$ （i是虚数单位）在复平面内对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 若实数 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} 2 x - y + 1 \leq 0 \\ x + y - 4 \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = x + 2 y$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 5]$ B、 $(- \infty ， 7]$ C、 $[7 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， + \infty)$

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4. 将函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{6})$ 向左至少平移多少个单位，使得到的图像关于 $y$ 轴对称（）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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5. 函数 $y = \sin (\cos (x))$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 的公比不为1， $T_{n}$ 为其前 $n$ 项积，若 $T_{2017} = T_{2021}$ ，则 $\frac{\ln a_{2020}}{\ln a_{2021}} =$ （）

A、1:3 B、3:1 C、3:5 D、5:3

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7. 已知 $a$ ， $b \in R$ ，则“ $a + b < 0$ ”是“ $a | a | + b | b | < 0$ ”的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 已知 $a \in R$ ， $b \neq 0$ ，若 $x = b$ 是函数 $f (x) = (x - b) (x^{2} + a x + b)$ 的极小值点，则实数 $b$ 的取值范围为（）

A、 $b < 1$ 且 $b \neq 0$ B、 $b > 1$ C、 $b < 2$ 且 $b \neq 0$ D、 $b > 2$

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9. 在 $△ A B C$ 中，点D满足 $\vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{D B}$ 且 $C D ⊥ C B$ ，则当角A最大时，cosA的值为（）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{5 \sqrt{34}}{34}$

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10. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{- x} ， x < 0 \\ (a + 2) x^{2} + x \ln x ， x > 0 \end{array}$ ，若恰有3个互不相同的实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，使得 $\frac{f (x_{1})}{x_{1}^{2}} = \frac{f (x_{2})}{x_{2}^{2}} = \frac{f (x_{3})}{x_{3}^{2}} = 2$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $a > - \frac{1}{e}$ B、 $- \frac{1}{e} < a < 0$ C、 $a \geq 0$ D、 $a \geq 0$ 或 $a = - \frac{1}{e}$

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二、双空题

11. 已知 $3^{a} = 4$ ， $b = \log_{2} 3$ ，则 $a b =$ ； $4^{b} =$ ．

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12. 二项展开式 ${(2 + x)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5}$ ，则 $a_{3} =$ ； $a_{1} + a_{3} + a_{5} =$ ．

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13. 已知 $\tan θ = \frac{1}{2}$ ，则 $\tan (θ - \frac{π}{4}) =$ ； $\sin 2 θ =$ ．

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} | x + 1 | - 1 ， x \leq 0 \\ \sin (π x) ， x > 0 \end{matrix}$ ，则 $f (f (\frac{3}{2})) =$ ；若 $f (x)$ 在 $x \in (a ， \frac{3}{2})$ 既有最大值又有最小值，则实数 $a$ 的取值范围为．

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三、填空题

15. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $x + 2 y = 1$ ，则 $\frac{2 y}{x + 1} + \frac{1}{2 y}$ 的最小值为．

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16. 若 $(m e^{x} + 2 e x) (e^{x} + e x) - e^{2 x} \leq 0$ 在 $x \in (0, + \infty)$ 上恒成立，则实数 $m$ 的取值范围为．

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17. 已知平面向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{a} + 2 \vec{b} | = \sqrt{3}$ ，则 $\sqrt{3} | \vec{b} | + | \vec{a} + \vec{b} |$ 的最大值为．

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四、解答题

18. 已知在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a \sin B - \sqrt{3} b \cos A = 0$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、求 $2 \cos A + 2 \cos B + \cos C$ 的取值范围．

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19. 如图，三棱台 $A B C - D E F$ 中， $∠ A B C = 90^{\circ}$ ， $A C = 2 A B = 2 D F$ ，四边形 $A C F D$ 为等腰梯形， $∠ A C F = 45^{\circ}$ ，平面 $A B E D ⊥$ 平面 $A C F D$ ．

（Ⅰ）求证： $A B ⊥ C F$ ；

（Ⅱ）求直线 $B D$ 与平面 $A B C$ 所成角的正弦值．

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20. 已知数列 ${\frac{n}{a_{n} - 1}}$ 的前 $n$ 项和为 $n$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 1$ ， $b_{n + 1} - b_{n} = a_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ．
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）若数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = \frac{a_{2 n}}{b_{n}^{2}}$ ， $n \in N^{*}$ ，求满足 $c_{1} + c_{2} + \dots + c_{n} \leq \frac{63}{16}$ 的最大整数 $n$ ．

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21. 如图，点 $A$ 为椭圆 $C_{1} ： x^{2} + 2 y^{2} = 1$ 的左顶点，过 $A$ 的直线 $l_{1}$ 交抛物线 $C_{2} ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 于 $B$ ， $C$ 两点，点 $C$ 是 $A B$ 的中点．

（Ⅰ）若点 $A$ 在抛物线 $C_{2}$ 的准线上，求抛物线 $C_{2}$ 的标准方程：

（Ⅱ）若直线 $l_{2}$ 过点 $C$ ，且倾斜角和直线 $l_{1}$ 的倾斜角互补，交椭圆 $C_{1}$ 于 $M$ ， $N$ 两点，

（i）证明：点 $C$ 的横坐标是定值，并求出该定值：

（ii）当 $△ B M N$ 的面积最大时，求 $p$ 的值．

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22. 已知 $a > 1$ ，函数 $f (x) = \ln x + \frac{1}{x} - a$ ．

(1)、证明：函数 $y = f (x)$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上有唯一零点；

(2)、记 $x_{0}$ 为函数 $y = f (x)$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上的零点，证明： $2 (e^{a} - \frac{3}{2}) > \frac{x_{0}^{2} + 1}{x_{0}} > 2 a - \ln a$ ．其中 $e = 2.71828$ …为自然对数的底数．

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