山东省潍坊市诸城市2019-2020学年九年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2020-12-05 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列方程中，没有实数根的方程是（）

A、 ${(x - 1)}^{2} = 2$ B、 $(x + 1) (2 x - 3) = 0$ C、 $3 x^{2} - 2 x - 1 = 0$ D、 $x^{2} + 2 x + 4 = 0$

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2. 已知反比例函数 $y = - \frac{2}{x}$ ，则下列结论正确的是（）

A、点(1，2)在它的图象上 B、其图象分别位于第一、三象限 C、 $y$ 随 $x$ 的增大而减小 D、如果点 $P (m, n)$ 在它的图象上，则点 $Q (n, m)$ 也在它的图象上

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3. 电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关的动人故事，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，前三天累计票房收入达10亿元，若设增长率为 $x$ ，则可列方程为（）

A、 $3 {(1 + x)}^{2} = 10$ B、 $3 + (1 + x) + {(1 + x)}^{2} = 10$ C、 $3 + 3 {(1 + x)}^{2} = 10$ D、 $3 + 3 (1 + x) + 3 {(1 + x)}^{2} = 10$

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4. 抛物线 $y = 2 {(x + 3)}^{2} - 1$ 可以由抛物线 $y = 2 x^{2}$ 平移得到，下列平移正确的是（）

A、先向左平移3个单位长度，然后向上平移1个单位 B、先向左平移3个单位长度，然后向下平移1个单位 C、先向右平移3个单位长度，然后向上平移1个单位 D、先向右平移3个单位长度，然后向下平移1个单位

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5. 若 $x_{1} x_{2} = 2$ ， $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{3}{2}$ ，则以 $x_{1} ， x_{2}$ 为根的一元二次方程是（）

A、 $x^{2} + 3 x - 2 = 0$ B、 $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ C、 $x^{2} + 3 x + 2 = 0$ D、 $x^{2} - 3 x - 2 = 0$

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6. 若反比例函数 $y = \frac{m + 2}{x}$ 的图象在每一个信息内 $y$ 的值随 $x$ 的增大而增大，则关于 $x$ 的函数 $y = (1 + m) x + m^{2} + 3$ 的图象经过（）

A、第一、三象限 B、第二、四象限 C、第一、三、四象限 D、第一、二、四象限

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7. 如图，是用一把直尺、含60°角的直角三角板和光盘摆放而成，点 $A$ 为60°角与直尺交点，点 $B$ 为光盘与直尺唯一交点，若 $A B = 3$ ，则光盘的直径是（）．

A、 $6 \sqrt{3}$ B、 $3 \sqrt{3}$ C、6 D、3

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8. 若 ${(a^{2} + b^{2})}^{2} - 2 (a^{2} + b^{2}) - 3 = 0$ ，则代数式 $a^{2} + b^{2}$ 的值（）

A、-1 B、3 C、-1或3 D、1或-3

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9. 如图，⊙O的半径为5，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC.若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $5 \sqrt{3}$ D、 $6 \sqrt{3}$

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10. 如图，把长40 $c m$ ，宽30 $c m$ 的矩形纸板剪掉2个小正方形和2个小矩形（阴影部分即剪掉部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为 $x$ $c m$ （纸板的厚度忽略不计），若折成长方体盒子的表面积是950 $c m^{2}$ ，则 $x$ 的值是（）

A、3 B、4 C、4.8 D、5

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11. 如图，平行四边形 $A B C O$ 的顶点 $B$ 在双曲线 $y = \frac{6}{x}$ 上，顶点 $C$ 在双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 上， $B C$ 中点 $P$ 恰好落在 $y$ 轴上，已知 $S_{△ O A B C} = 10$ ，则 $k$ 的值为（）

A、-8 B、-6 C、-4 D、-2

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12. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 图象的一部分如图所示，顶点坐标为 $(- 1 ， m)$ ，与 $x$ 轴的一个交点的坐标为(-3，0)，给出以下结论：① $a b c > 0$ ；② $4 a - 2 b + c > 0$ ；③若 $B (- \frac{5}{2} ， y_{1})$ 、 $C (- \frac{1}{2} ， y_{2})$ 为函数图象上的两点，则 $y_{1} < y_{2}$ ；④当 $- 3 < x < 0$ 时方程 $a x^{2} + b x + c = t$ 有实数根，则 $t$ 的取值范围是 $0 < t \leq m$ ．其中正确的结论的个数为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

13. 如图， $P$ 是 $∠ α$ 的边 $O A$ 上一点，且点 $P$ 的横坐标为3， $\sin α = \frac{4}{5}$ ，则 $\tan α =$ ．

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14. 若函数 $y = m x^{m^{2} + 3 m - 1}$ 是反比例函数，则m= ．

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15. 如图，一款落地灯的灯柱AB垂直于水平地面MN ，高度为1.6米，支架部分的形为开口向下的抛物线，其顶点C距灯柱AB的水平距离为0.8米，距地面的高度为2.4 米，灯罩顶端D距灯柱AB的水平距离为1.4米，则灯罩顶端D距地面的高度为米．

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16. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 1$ ， $B C = \sqrt{3}$ ，以 $B$ 为圆心， $B D$ 为半径画弧，交 $B C$ 延长线于 $M$ 点，以 $D$ 为圆心， $C D$ 为半径画弧，交 $A D$ 于点 $N$ ，则图中阴影部分的面积是．

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17. 阅读材料：一元二次方程 $x^{2} - x - 6 = 0$ 的两个根是-2，3，画出二次函数 $y = x^{2} - x - 6$ 的图象如图，位于 $x$ 轴上方的图象上点的纵坐标 $y$ 满足 $y > 0$ ，所以不等式 $y < 0$ 点的横坐标的取值范围是 $- 2 < x < 3$ ，则不等式 $x^{2} - x - 6 < 0$ 解是 $- 2 < x < 3$ ．仿照例子，运用上面的方法解不等式 $- x^{2} + 4 x - 3 > 0$ 的解是．

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18. 如图，在平面直角坐标系中，直线l的函数表达式为 $y = x$ ，点 $Q_{1}$ 的坐标为(1，0)，以 $O_{1}$ 为圆心， $O_{1} O$ 为半径画圆，交直线 $l$ 于点 $P_{1}$ ，交 $x$ 轴正半轴于点 $O_{2}$ ，以 $O_{2}$ 为圆心， $O_{2} O$ 为半径的画圆，交直线 $l$ 于点 $P_{2}$ ，交 $x$ 轴的正半轴于点 $O_{3}$ ，以 $O_{3}$ 为圆心， $O_{3} O$ 为半径画圆，交直线 $l$ 与点 $P_{3}$ ，交 $x$ 轴的正半轴于点 $O_{4}$ ，… 按此做法进行下去，其中弧 $P_{2019} O_{2020}$ 的长为.

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三、解答题

19. 如图，在直角坐标系中， $O$ 为坐标原点．已知反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过点 $A (3 ， m)$ ，过点 $A$ 作 $A B ⊥ x$ 轴于点 $B$ ， $Δ A O B$ 的面积为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求 $k$ 和 $m$ 的值；

(2)、若点 $C (x ， y)$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上运动，观察图象，当点 $C$ 的纵坐标 $y \leq - 1$ 是，则对应的 $x$ 的取值范围是．

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20. 已知关于x的方程 $k x^{2} - 2 (k + 2) x + k - 2 = 0$ 有两个不相等的实数根 $x_{1} ， x_{2}$ ．

(1)、求k的取值范围；

(2)、若 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1} x_{2} = 4$ ，求 $k$ 的值．

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21. 如图，一般捕鱼船在A处发出求救信号，位于A处正西方向的B处有一艘救援艇决定前去数援，但两船之间有大片暗礁，无法直线到达．救援艇决定马上调整方向，先向北偏东 $60 °$ 方以每小时30海里的速度航行，同时捕鱼船向正北低速航行.30分钟后，捕鱼船到达距离A处 $1.5$ 海里的D处，此时救援艇在C处测得D处在南偏东 $53 °$ 的方向上．

(1)、求C、D两点的距离；

(2)、捕鱼船继续低速向北航行，救援艇决定再次调整航向，沿CE方向前去救援，并且捕鱼船和救援艇同达时到E处，若两船航速不变，求 $∠ E C D$ 的正弦值． $($ 参考数据： $s i n 53 ° \approx 0.8$ ， $c o s 53 ° \approx 0.6$ ， $t a n 53 ° \approx \frac{4}{3})$

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22. 某商店经过市场调查，整理出某种商品在第 $x$ （ $x \leq 90$ ）天的售价与销量的相关信息如下表．已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品每天的利润为 $y$ 元．

(1)、求 $y$ 与 $x$ 的函数关系是；

(2)、问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？

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23. 如图，已知 $B D$ 为⊙ $O$ 的直径， $A B$ 为⊙ $O$ 的一条弦，点 $P$ 是⊙ $O$ 外一点 $P$ ，且 $P O ⊥ A B$ ，垂足为点 $C$ ，交⊙ $O$ 于点 $N$ ， $P O$ 的延长线交⊙ $O$ 于点 $M$ ，连接 $B M 、 A D 、 A P$ ．

(1)、求证： $P M ∥ A D$ ；

(2)、若 $∠ B A P = 2 ∠ M$ ，求证： $P A$ 是⊙ $O$ 的切线；

(3)、若 $A D = 6$ ， $\tan M = \frac{1}{2}$ ，求⊙ $O$ 的半径．

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24. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x²﹣2x﹣3=0的两根．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．
①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；

②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．

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