山东省威海市文登区2019-2020学年九年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2020-12-05 类型：期末考试

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一、单选题

1. 函数 $y = \frac{x}{x - 3} + \sqrt{2 - x}$ 的自变量 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x \neq 3$ B、 $x \neq 2$ C、 $x \leq 2$ D、 $x \leq 2$ 且 $x \neq 3$

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2. 若 $s i n A = c o s B$ ，下列结论正确的是（）

A、 $∠ A = ∠ B$ B、 $∠ A + ∠ B = 90^{\circ}$ C、 $∠ A + ∠ B = 180^{\circ}$ D、以上结论均错误

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3. 图1是一个底面为正方形的直棱柱，现将图1切割成图2的几何体，则图2的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 如图，已知 $△ A B C$ 的三个顶点均在格点上，则 $\cos A$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{3 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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5. 在阳光的照射下，一块三角板的投影不会是（　　）

A、线段 B、与原三角形全等的三角形 C、变形的三角形 D、点

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6. 如图，小明想利用太阳光测量楼高，发现对面墙上有这栋楼的影子，小明边移动边观察，发现站在点 $E$ 处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重合且高度恰好相同.此时测得墙上影子高 $C D = 1.2 m ， D E = 0.6 m ， B D = 30 m$ (点 $B ， E ， D$ 在同一条直线上).已知小明身高 $E F$ 是 $1.6 m$ ，则楼高AB为（）

A、 $20 m$ B、 $21.2 m$ C、 $31.2 m$ D、 $31 m$

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7. 如图，小明将一个含有 $45 °$ 角的直角三角板绕着它的一条直角边所在的直线旋转一周，形成一个几何体，将这个几何体的侧面展开，得到的大致图形是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知抛物线 $y = x^{2} - 4 x + 3$ 与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧），顶点为M.平移该抛物线，使点M平移后的对应点M'落在x轴上，点B平移后的对应点B'落在y轴上，则平移后的抛物线解析式为（）

A、 $y = x^{2} + 2 x + 1$ B、 $y = x^{2} + 2 x - 1$ C、 $y = x^{2} - 2 x + 1$ D、 $y = x^{2} - 2 x - 1$

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C ， ∠ C A B = 90^{\circ}$ ，已知 $A (2 ， 0) ， B (0 ， 1)$ ，把 $△ A B C$ 沿 $x$ 轴负方向向左平移到 $△ A' B' C'$ 的位置，此时 $B' ， C'$ 在同一双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 上，则 $k$ 的值为（）

A、-2 B、-4 C、-6 D、-8

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10. 四位同学在研究函数 $y = x^{2} + b x + c$ （ $b, c$ 是常数）时，甲发现当 $x = 1$ 时，函数有最小值；乙发现 $- 1$ 是方程 $x^{2} + b x + c = 0$ 的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当 $x = 2$ 时， $y = 4$ ，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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11. 正五边形 $A B C D E$ 内接于圆，连接 $A C ， A D ， B E ， B E$ 分别与 $A C ， A D$ 交于点 $F$ ， $G$ ，连接 $D F .$ 若 $A B = 2$ ，下列结论：① $∠ F D G = 18 °$ ② $B F = \sqrt{5} - 1$ ③四边形 $C D E F$ 是菱形④ ${(S_{四边形 CDEF})}^{2} = 9 + 2 \sqrt{5}$ ；其中正确的个数为（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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12. 如图， $y$ 轴右侧一组平行于 $y$ 轴的直线 $l_{1} ， l_{2} ， l_{3} ， l_{4} ， l_{5}$ ···，两条相邻平行线之间的距离均为 $1$ ，以点 $O$ 为圆心，分别以 $1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6$ ···为半径画弧，分别交 $y$ 轴， $l_{1} ， l_{2} ， l_{3} ， l_{4} ， l_{5}$ ···于点 $P ， P_{1} ， P_{2} ， P_{3} ， P_{4} ， P_{5}$ ···则点 $P_{2019}$ 的坐标为（）

A、 $(2018 ， \sqrt{4037})$ B、 $(2019 ， \sqrt{4037})$ C、 $(2019 ， \sqrt{4039})$ D、 $(2020 ， \sqrt{4041})$

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二、填空题

13. 从实数 $\frac{2}{3} ， π ， s i n 60^{\circ}$ 中，任取两个数，正好都是无理数的概率为．

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， ∠ A = 30 ° ， E F$ 是斜边 $A B$ 的垂直平分线，分别交 $A B ， A C$ 于点 $E ， F$ ，若 $B C = 2 \sqrt{3}$ ，则 $C F =$ ．

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15. 抛物线 $y = - x^{2} + m x + n$ 的对称轴过点 $A (- 1, 5)$ ，点 $A$ 与抛物线的顶点 $B$ 之间的距离为4，抛物线的表达式为．

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16. 如图，平行四边形 $A B C D ， ⊙ O$ 分别切 $C D ， A D ， B C$ 于点 $E ， F ， G$ ，连接 $CO$ 并延长交AD于点H，连接 $A G ， A G$ 与 $H C$ 刚好平行，若 $A B = 4 ， A D = 5$ ，则 $⊙ O$ 的直径为．

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17. 如图，点 $A$ 是反比例函数 $y = \frac{4}{x} (x > 0)$ 的图象上一点，直线 $y = k x + b$ 过点 $A$ 与 $y$ 轴交于点 $B$ ，与 $x$ 轴交于点 $C$ .过点 $A$ 做 $A D ⊥ x$ 轴于点 $D$ ，连接 $B D$ ，若 $△ B O C$ 的面积为 $3$ ，则 $△ B O D$ 的面积为．

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18. 把两块同样大小的含 $60 °$ 角的三角板的直角重合并按图1方式放置，点 $P$ 是两块三角板的边 $D E$ 与 $A C$ 的交点，将三角板 $C D E$ 绕点 $C$ 按顺时针方向旋转 $45 °$ 到图2的位置，若 $B C = a$ ，则点 $P$ 所走过的路程是．

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三、解答题

19.

(1)、计算： $2 t a n^{2} 60^{\circ} - (t a n 45^{\circ} - \sqrt{3}) ° + | \frac{\sqrt{2}}{2} - c o s 30^{\circ} | - {(\frac{1}{2} s i n 45^{\circ})}^{- 1}$ ．

(2)、如图，正方形纸板 $A B C D$ 在投影面 $a$ 上的正投影为 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，其中边 $A B 、 C D$ 与投影面平行， $A D ， B C$ 与投影面不平行.若正方形 $A B C D$ 的边长为 $5$ 厘米， $∠ B C C_{1} = 45^{\circ}$ ，求其投影 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的面积．

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20. 一个可以自由转动的转盘，其盘面分为 $3$ 等份，分别标上数字 $3 ， 4 ， 5$ .小颖准备转动转盘 $5$ 次，现已转动 $3$ 次，每一次停止后，小颖将指针所指数字记录如下：

次数

1

2

3

4

5

数字

4

3

3

小颖继续自由转动转盘2次，判断是否可能发生“这5次指针所指数字的平均数不小于3.6且不大于3.8”的结果？若有可能，计算发生此结果的概率，并写出计算过程；若不可能，请说明理由．(指针指向盘面等分线时为无效转次．)

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21. 随着私家车的增多，“停车难”成了很多小区的棘手问题.某小区为解决这个问题，拟建造一个地下停车库.如图是该地下停车库坡道入口的设计示意图，其中，入口处斜坡 $A B$ 的坡角为 $20 °$ ，水平线 $A C = 12 m ， C D ⊥ A C ， C D = 1.5 m$ .根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以提醒驾驶员所驾车辆能否安全驶入.请求出限制高度为多少米，(结果精确到 $0.1 m$ ，参考数据： $s i n 20^{\circ} \approx 0.34$ ， $c o s 20^{\circ} \approx 0.94$ ， $t a n 20^{\circ} \approx 0.36$ )．

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22. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 $A B O C$ 的顶点 $C$ 在 $y$ 轴上， $B$ 在 $x$ 轴上，把矩形 $A B O C$ 沿对角线 $B C$ 所在的直线对折，点 $A$ 恰好落在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象上点 $D$ 处， $B D$ 与 $y$ 轴交于点 $E$ ，延长 $C D$ 交 $x$ 轴于点 $F$ ，点 $D$ 刚好是 $C F$ 的中点.已知 $B$ 的坐标为 $(- 2 ， 0)$ ．

(1)、求反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的函数表达式；

(2)、若 $Q$ 是反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 图象上的一点， $P$ 点在 $x$ 轴上，若以 $P ， Q ， B ， E$ 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出 $P$ 点的坐标.

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23. 某商场销售一种电子产品，进价为20元/件.根据以往经验:当销售单价为25元时，每天的销售量是250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件.

(1)、销售该电子产品时每天的销售量 $y$ (件)与销售单价 $x$ (元)之间的函数关系式为；

(2)、商场决定每销售 $1$ 件该产品，就捐赠 $a (0 < a \leq 6)$ 元给希望工程，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1440元，求 $a$ 的值．

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24. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 在 $\overset{⌢}{AB}$ 上， $\overset{⌢}{BC} = 2 \overset{⌢}{AC}$ ，FD切 $⊙ O$ 于点 $B$ ，连接 $A C$ 并延长交 $F D$ 于点 $D$ ，点 $E$ 为 $O B$ 中点，连接 $C E$ 并延长交 $F D$ 于点 $F$ ，连接 $A F$ ，交 $⊙ O$ 于点 $G$ ，连接 $B G$ ．

(1)、求证： $C D = 3 A C$ ；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为 $2$ ，求 $B G$ 的长．

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25. 如图1，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 2 ， 0) ， B (8 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C (0 ， 4)$ ．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、点 $M$ 为抛物线的顶点，在 $y$ 轴上是否存在点 $N$ ，使 $∠ M N B = 90 °$ ？若存在，求出点 $N$ 的坐标；若不存在，说明理由；

(3)、如图2，位于 $y$ 轴右侧且垂直于 $x$ 轴的动直线 $l$ 沿 $x$ 轴正方向从 $O$ 运动到 $B$ (不含 $O$ 点和 $B$ 点)，分别与抛物线、直线 $B C$ 以及 $x$ 轴交于点 $P ， E ， F$ ，过点 $P$ 作 $P Q ⊥ B C$ 于点 $Q$ ，求面积 $△ P Q E$ 的最大值．

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次数	1	2	3	4	5
数字	4	3	3