山东省菏泽市牡丹区2019-2020学年九年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2020-12-05 类型：期末考试

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一、单选题

1. 一元二次方程 $x^{2} - 3 x = 0$ 的根为（）

A、 $x_{1} = 3, x_{2} = 0$ B、 $x = \sqrt{3}, x = - 3$ C、 $x = \sqrt{3}$ D、 $x = 3$

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2. 连接对角线相等的任意四边形各边中点得到的新四边形的形状是（）

A、正方形 B、菱形 C、矩形 D、平行四边形

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3. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC=10，BD＝12，CD＝m，那么m的取值范围是（）

A、10<m<12 B、2<m<22 C、5<m<6 D、1<m<11

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4. 如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AC和BD交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA=3OC，OB=3OD），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段a的两个端点上，当CD=1.8cm时，则AB的长为（）

A、7.2 cm B、5.4 cm C、3.6 cm D、0.6 cm

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5. 用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另-个转出蓝色即可配成紫色，则可配成紫色的概率是（）

转盘一转盘二

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{5}{12}$ C、 $\frac{3}{8}$ D、 $\frac{5}{8}$

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6. 如图，矩形的中心为直角坐标系的原点 $O$ ，各边分别与坐标轴平行，其中一边 $A B$ 交 $x$ 轴于点 $C$ ，交反比例函数图象于点 $P$ ，且点 $P$ 是 $A C$ 的中点，已知图中阴影部分的面积为 $8$ ，则该反比例函数的表达式是（）

A、 $y = \frac{2 \sqrt{2}}{x}$ B、 $y = \frac{4}{x}$ C、 $y = \frac{4 \sqrt{2}}{x}$ D、 $y = \frac{8}{x}$

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7. 某公司一月份缴税40万元，由于公司的业绩逐月稳步上升，假设每月的缴税增长率相同，第一季度共缴税145.6万元，该公司这季度缴税的月平均增长率为多少？设公司这季度缴税的月平均增长率为x，则下列所列方程正确的是（）

A、 $40 {(1 + x)}^{2} = 145.6$ B、 $40 + 40 {(1 + x)}^{2} = 145.6$ C、 $40 + 40 (1 + x) = 145.6$ D、 $40 + 40 (1 + x) + 40 {(1 + x)}^{2} = 145.6$

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8. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，以 $B C$ 为边作等边 $△ B P C$ ，延长 $B P ， C P$ 分别交 $A D$ 于点 $E ， F$ ，连接 $B D 、 D P ，$ $B D$ 与 $C F$ 相交于点 $H$ ，给出下列结论： ① $A E = \frac{1}{2} C F$ ；② $∠ B P D = 135 °$ ；③ $Δ P D E ~ Δ D B E$ ；④ $E D^{2} = E P \cdot E B$ ；其中正确的是（）

A、①②③④ B、②③ C、①②④ D、①③④

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二、填空题

9. 在实数范围内定义一种运算“※”，其规则为a※b＝a²﹣b，根据这个规则，方程（x+2）※9＝0的解为．

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10. 如图所示是某种货号的直三棱柱(底面是等腰直角三角形)零件的三视图，则它的表面积为 $c m^{2}$

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11. 已知正比例函数 $y = m x (m \neq 0)$ 的图像与反比例函数 $y = \frac{n}{x} (n \neq 0)$ 的图像有一个交点的坐标是 $(1, 2)$ ，则它们的另一个交点坐标为．

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12. 已知点P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，AB＝4 cm，则PA＝cm．

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13. 如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆.小丽站在离南岸边15米的P点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为米.

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14. 如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m² ，则道路的宽为．

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15. 在一个不透(明的袋子中装有除了颜色外其余均相同的8个小球，其中红球3个，黑球5个，若再放入 $m$ 个一样的黑球并摇匀，此时，随机摸出一个球是黑球的概率等于 $\frac{4}{5}$ ，则 $m$ 的值为．

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16. 已知 $△ A B C$ 是一张等腰直角三角形板， $∠ C = 90 ° ， A C = B C = 2$ ，要在这张纸板中剪取正方形(剪法如图1所示)，图1中剪法称为第 $1$ 次剪取，记所得的正方形面积为 $S_{1}$ ；按照图1中的剪法，在余下的 $△ A D E$ 和 $△ B D F$ 中，分别剪取两个全等正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为 $S_{2}$ ，(如图2) ；再在余下的四个三角形中，用同样的方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形的面积和为 $S_{3}$ ，(如图3)；继续操作下去···则第 $n$ 次剪取后， $S_{n} =$ ．

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三、解答题

17. 解方程：

(1)、 $2 x^{2} + 4 x - 5 = 0$ (配方法)

(2)、 $3 {(x - 2)}^{2} = x (x - 2)$

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18. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $M ， N$ 分别是 $A D ， B C$ 的中点， $∠ A N D = 90 °$ ，连接 $C M$ 交 $D M$ 于点 $O$ ．

(1)、求证： $△ A B N ≌ △ C D M$ ；

(2)、过点 $C$ 作 $C E ⊥ M N$ 于点 $E$ ，交 $D N$ 于点 $P$ ，若 $P E = 1 ， ∠ 1 = ∠ 2$ ，求 $A N$ 的长．

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19. 《海岛算经》第一个问题的大意是：如图，要测量海岛上一座山峰 $A$ 的高度 $A H$ ，立两根高3丈的标杆 $B C$ 和 $D E$ ，两竿之间的距 $B D = 1000$ 步， $D 、 B 、 H$ 成一线，从 $B$ 处退行123步到 $F$ ，人的眼睛贴着地面观察 $A$ 点， $A 、 C 、 F$ 三点成一线；从 $D$ 处退行127步到 $G$ ，从 $G$ 观察 $A$ 点， $A 、 E 、 G$ 三点也成一线．试计算山峰的高度 $A H$ 及 $H B$ 的长． (这里 $1$ 步=6尺，1丈=10尺，结果用丈表示) ．怎样利用相似三角形求得线段 $A H$ 及 $H B$ 的长呢？请你试一试!

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20. 在不透明的袋中有大小形状和质地等完全相同的4个小球，它们分别标有数字 $1 、 2 、 3 、 4$ ，从袋中任意摸出一小球(不放回)，将袋中的小球搅匀后，再从袋中摸出另一小球．

(1)、请你用列表或画树状图的方法表示摸出小球上的数字可能出现的所有结果；

(2)、规定：如果摸出的两个小球上的数字都是方程 $x^{2} - 7 x + 12 = 0$ 的根，则小明赢；如果摸出的两个小球上的数字都不是方程 $x^{2} - 7 x + 12 = 0$ 的根，则小亮赢．你认为这个游戏规则对小明、小亮双方公平吗？请说明理由．

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21. 某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．

(1)、求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．

(2)、每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？

(3)、每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？

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22. 如图，一次函数 $y = k_{1} x + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k_{2}}{x}$ 的图象相交于 $A$ 、 $B$ 两点，其中点 $A$ 的坐标为 $(- 1 ， 4)$ ，点 $B$ 的坐标为 $(4 ， n)$ .

(1)、根据图象，直接写出满足 $k_{1} x + b > \frac{k_{2}}{x}$ 的 $x$ 的取值范围；

(2)、求这两个函数的表达式；

(3)、点 $P$ 在线段 $A B$ 上，且 $S_{Δ A O P} ： S_{Δ B O P} = 1 ： 2$ ，求点 $P$ 的坐标.

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23. 如图

(1)、（问题发现）
如图①，正方形AEFG的两边分别在正方形ABCD的边AB和AD上，连接CF ．

填空：①线段CF与DG的数量关系为；

②直线CF与DG所夹锐角的度数为．

(2)、（拓展探究）
如图②，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图②进行说明．

(3)、（解决问题）
如图③，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝4，O为AC的中点．若点D在直线BC上运动，连接OE ，则在点D的运动过程中，线段OE长的最小值为（直接写出结果）．

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