浙江省衢州五校2020-2021学年高二上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2020-12-04 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 直线 $3 x + \sqrt{3} y + 1 = 0$ 的倾斜角是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

查看试题解析
2. 已知 $a = 2^{0.2}$ ， $b = \log_{2} 0.2$ ， $c = \log_{0.2} 0.3$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

查看试题解析
3. 椭圆 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{64} = 1$ 的一个焦点坐标为（）

A、 $(10, 0)$ B、 $(0, 10)$ C、 $(2 \sqrt{7}, 0)$ D、 $(0, 2 \sqrt{7})$

查看试题解析
4. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} a_{12} = 4 a_{7}$ ，数列 ${b_{n}}$ 是等差数列，且 $b_{7} = a_{7}$ ，则 $b_{3} + b_{11} =$ （）

A、3 B、6 C、7 D、8

查看试题解析
5. 关于不同的直线 $m, n$ 与不同的平面 $α, β$ ，有下列四个命题：
① $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ，且 $α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$ ② $m / / α$ ， $n / / β$ ，且 $α / / β$ ，则 $m / / n$

③ $m ⊥ α$ ， $n / / β$ ，且 $α / / β$ ，则 $m ⊥ n$ ④ $m / / α$ ， $n ⊥ β$ ，且 $α ⊥ β$ ，则 $m / / n$

其中正确的命题的序号是（）

A、① ② B、②③ C、①③ D、③④

查看试题解析
6. 已知圆锥的全面积是底面积的4倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{5 π}{6}$ C、3 D、4

查看试题解析
7. 已知圆 $⊙ O_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} - a x = 0$ （ $a > 0$ ）截直线 $x - y = 0$ 所得线段的长度是 $2 \sqrt{2}$ ，则圆 $⊙ O_{1}$ 与圆 $⊙ O_{2}$ ： ${(x - 4)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ 的位置关系是（）

A、内切 B、相离 C、外切 D、相交

查看试题解析
8. 如图，点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为（）

A、30° B、45° C、60° D、90°

查看试题解析
9. 两次购买同一物品，可以用两种不同的策略，第一种不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品数量一定.设第一种方式购买的平均价格为a元，第二种方式购买的平均价格为b元，下列说法正确的是（）

A、 $a \leq b$ B、 $a < b$ C、 $a \geq b$ D、 $a > b$

查看试题解析
10. 已知 $f (x) = (x^{2} + a x + b) \cdot \ln x ， (a ， b \in$ $R$ )，当 $x > 0$ 时 $f (x) \geq 0$ ，则实数a的取值范围为（）

A、 $- 2 \leq a < 0$ B、 $a \geq - 1$ C、 $- 1 < a \leq 0$ D、 $0 \leq a \leq 1$

查看试题解析

二、双空题

11. 已知直线 $l_{1} : 3 x + m y - 3 = 0$ 与 $l_{2} : 6 x + 4 y + 1 = 0$ 互相平行，则实数 $m =$ ，它们的距离是．

查看试题解析
12. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} x^{2}, x < 1 \\ 4 - \sqrt{x - 1}, x \geq 1 \end{matrix}$ ，则 $f (f (- 1)) =$ ；使得 $f (a) \geq 4 a$ 的实数 $a$ 的取值范围是．

查看试题解析
13. 某几何体的三视图（单位： $cm$ ）如图所示，则该几何体的体积等于，表面积等于．

查看试题解析
14. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C$ 为钝角， $B C = 4$ ，点 $D$ 是 $A C$ 上一点，且 $3 A D = D C$ ， $B D = \sqrt{7}$ ， $∠ C = \frac{π}{6}$ ，则 $A C$ ＝， $\sin ∠ A B D$ ＝．

查看试题解析

三、填空题

15. 已知正方形 $A B C D$ 的边长为3，其所在平面内一点 $P$ ，满足 $2 P A = P B$ ，则 $\vec{P B} \cdot \vec{A D}$ 的最大值是．

查看试题解析
16. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{2} > 0$ ， $a_{4} < 0$ ，数列的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $\frac{S_{4}}{S_{2}}$ 的取值范围是．

查看试题解析
17. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 棱长为2， $M ， N$ 为体对角线 $B D_{1}$ 上的两动点，且 $M N = \frac{1}{3} B D_{1}$ ，动点 $P$ 在三角形 $A C B_{1}$ 内，且三角形 $P M N$ 的面积 $S_{Δ P M N} = \frac{2 \sqrt{6}}{9}$ ，则点 $P$ 的轨迹长度为．

查看试题解析

四、解答题

18. 已知函数 $f (x) = \frac{3}{2} \sin 2 x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2 x$ .

(1)、若 $f (\frac{A}{2}) = \frac{\sqrt{6}}{2}$ ， $0 < A < π$ ，求 $A$ 的值．

(2)、先将函数 $y = f (x)$ 的图像上所有点向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，再把所有点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，得到函数 $y = g (x)$ 的图像，求函数 $y = g (x)$ 的单调递增区间.

查看试题解析
19. 已知圆 $C$ : ${(x - 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 1,$ 直线 $l$ 过定点 $M (1, 0)$ .

(1)、若 $l$ 与圆 $C$ 相切，求直线 $l$ 的方程;

(2)、若 $l$ 与圆 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，求 $△ A B C$ 面积最大值，并求出此时直线 $l$ 的方程.

查看试题解析
20. 如图，四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 与侧面 $A A_{1} B_{1} B$ 为相似的等腰梯形， $A D / / B C ， A B = 2 ， A D = 4 ， ∠ B A D = 60^{\circ}$ .

（Ⅰ）求证： $C D_{1} / /$ 平面 $A B A_{1} B_{1}$ ；

（Ⅱ）若二面角 $B_{1} - A B - D$ 的平面角为 $60^{\circ}$ ，求 $A D$ 与平面 $A B A_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值.

查看试题解析
21. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2, a_{n + 1} = 2 a_{n} - 1$ ，数列 ${(a_{n} - 1) (b_{n + 1} - b_{n})}$ 的前 $n$ 项和为 $\frac{n^{2} + n}{2},$ 且 $b_{1} = 1$
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）证明： $1 \leq b_{n} < 5 (n \in$ $N^{*}$ ).

查看试题解析
22. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左焦点 $F (- \sqrt{3} ， 0)$ ，椭圆的两顶点分别为 $A (- a ， 0)$ ， $B (a ， 0)$ ，M为椭圆上除A，B之外的任意一点，直线MA，BM的斜率之积为 $- \frac{1}{4}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若P为椭圆 $C$ 短轴的上顶点，斜率为 $k$ 的直线 $l$ 不经过P点且与椭圆 $C$ 交于E，F两点，设直线PE，PF的斜率分别为 $k_{1} ， k_{2}$ ，且 $k_{1} + k_{2} = - 1$ ，试问直线 $l$ 是否过定点，若是，求出这定点；若不存在，请说明理由.

查看试题解析