四川省成都市蓉城名校联盟2021届高三上学期理数第一次联考试卷

试卷更新日期：2020-12-04 类型：月考试卷

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知全集为实数集 $R$ ，集合 $A = {x | 0 \leq x \leq 4}$ ， $B = {x | x^{2} - 8 x + 15 > 0}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 $[4, 5]$ B、 $[0, 3]$ C、 $[3, 4]$ D、 $(3, 4)$

查看试题解析
2. 已知复数 $z = \frac{2}{1 - i}$ ，则 $| z | =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

查看试题解析
3. 命题 $p :$ “ $\forall x \in (0, \frac{π}{2})$ ， $\sin x < \tan x$ ”的否定 $\neg p$ 为（）

A、 $\forall x \in (0, \frac{π}{2})$ ， $\sin x \geq \tan x$ B、 $\forall x \in (0, \frac{π}{2})$ ， $\sin x > \tan x$ C、 $\exists x_{0} \in (0, \frac{π}{2})$ ， $\sin x_{0} \geq \tan x_{0}$ D、 $\exists x_{0} \notin (0, \frac{π}{2})$ ， $\sin x_{0} \geq \tan x_{0}$

查看试题解析
4. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{3}$ ， $a_{7}$ 是方程 $x^{2} - 8 x - 13 = 0$ 的两根，则 $S_{9} =$ （）

A、36 B、40 C、72 D、80

查看试题解析
5. 已知 $\tan (α + \frac{π}{4}) = - \int_{1}^{e^{3}} \frac{1}{x} d x$ ，则 $\frac{2 \sin α + \cos α}{\cos α - \sin α} =$ （）

A、-4 B、4 C、5 D、-5

查看试题解析
6. 已知随机变量 $X$ 服从二项分布 $B (4, p)$ ，其期望 $E (X) = 3$ ，随机变量 $Y$ 服从正态分布 $N (1, 2)$ ，若 $P (Y > 0) = p$ ，则 $P (0 < Y < 2) =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

查看试题解析
7. “ $m \in (0, \frac{1}{3})$ ”是“函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (3 m - 1) x + 4 m, x < 1 \\ - m x, x \geq 1 \end{array}$ 是定义在 $R$ 上的减函数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
8. 美国在今年对华为实行了禁令，为了突围实现技术自主，华为某分公司抽调了含甲､乙的5个工程师到华为总部的4个不同的技术部门参与研发，要求每个工程师只能去一个部门，每个部门至少去一个工程师，且甲乙两人不能去同一个部门，则不同的安排方式一共有（）种

A、96 B、120 C、180 D、216

查看试题解析
9. 已知函数 $f (x) = | \lg x |$ ，若 $f (a) = f (b)$ 且 $a < b$ ，则不等式 $\log_{a} x + \log_{b} (2 x - 1) > 0$ 的解集为（）

A、 $(1 ， + \infty)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ D、 $(\frac{1}{2} ， 1)$

查看试题解析
10. 已知二项式 ${(3 x - \frac{1}{x})}^{n}$ 的展开式中所有项的系数和为512，函数 $f (r) = C_{n}^{r}$ ， $r \in [0, n)$ 且 $r \in N$ ，则函数 $f (r)$ 取最大值时 $r$ 的取值为（）

A、4 B、5 C、4或5 D、6

查看试题解析
11. 已知函数 $f (x) = e^{| x |} + \cos x$ ，设 $a = f ({0.3}^{- 1})$ ， $b = f (2^{- 0.3})$ ， $c = f (\log_{2} 0.2)$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $c < a < b$ C、 $b < a < c$ D、 $b < c < a$

查看试题解析
12. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且对任意 $x \in R$ 都满足 $f (1 + x) = f (1 - x)$ ，当 $x \leq 1$ 时， $f (x) = {\begin{array}{l} \ln x ， 0 < x \leq 1 \\ e^{x} ， x \leq 0 \end{array}$ (其中 $e$ 为自然对数的底数，)若函数 $g (x) = m | x | - 2$ 与 $y = f (x)$ 的图像恰有两个交点，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m \leq 0$ 或 $m = e$ B、 $0 < m \leq \frac{3}{2}$ C、 $\frac{3}{2} < m < e$ D、 $m > e$

查看试题解析

二、填空题

13. 已知角 $α$ 终边上一点 $P (3, 4)$ ，则 $\sin 2 α =$ .

查看试题解析
14. 已知非零向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ， $| \vec{b} | = 2$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，则 $| \vec{a} | =$ .

查看试题解析
15. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = 2^{n + 1} - r$ ， $n \in N^{*}$ ，若命题“ $\forall n \in N^{*}$ ， $λ a_{n} \leq a_{n}^{2} + 128$ ”为真，则实数 $λ$ 的最大值为.

查看试题解析
16. 对于定义在区间 $D$ 上的函数 $f (x)$ ，若满足对 $\forall x_{1}$ ， $x_{2} \in D$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ 时都有 $(x_{1} - x_{2}) (f (x_{1}) - f (x_{2})) \geq 0$ ，则称函数 $f (x)$ 为区间 $D$ 上的“非减函数”，若 $f (x)$ 为区间 $[0, 2]$ 上的“非减函数”且 $f (2) = 2$ ， $f (x) + f (2 - x) = 2$ ，又当 $x \in [\frac{3}{2}, 2]$ ， $f (x) \leq 2 (x - 1)$ 恒成立，有下列命题
① $f (1) = 1$ ② $\exists x \in [\frac{3}{2}, 2]$ ， $f (x) < 1$ ③ $f (\frac{1}{14}) + f (\frac{9}{16}) + f (\frac{25}{18}) + f (\frac{27}{14}) = 4$ ④ 当 $x \in [0, \frac{1}{2}]$ 时， $f (f (x)) \leq - f (x) + 2$

其中正确的所有命题的序号为.

查看试题解析

三、解答题

17. 已知向量 $\vec{m} = (\sqrt{3}, 1)$ ， $\vec{n} = (\cos x, \sin x)$ ， $f (x) = (\vec{m} \cdot \vec{n}) \sin x$

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和最大值；

(2)、若 $b = 4$ ， $△ A B C$ 的周长为12，且 $f (B) = \frac{3}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

查看试题解析

18. 随着新冠疫情防控进入常态化，生产生活逐步步入正轨，为拉动消费，成都市先后发行了三批(每批2亿元)消费券.我们随机抽取了50人，对这种拉动消费的方式是否赞同进行调查，结果如下表，其中年龄低于45岁的总人数与不低于45岁的总人数之比为

3 : 2

年龄(单位：岁)	$[15, 25)$	$[25, 35)$	$[35, 45)$	$[45, 55)$	$[55, 65)$	$[65, 75)$
人数	5	$m$	15	10	$n$	5
赞同人数	5	10	12	7	2	1

参考数据：

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

(1)、求

m

，

n

值；

(2)、若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面

2 \times 2

列联表，并判断是否有99%的把握认为“赞同”的态度与人的年龄有关；

	年龄低于45岁的人数	年龄不低于45岁的人数	合计
赞同
不赞同
合计

(3)、若从年龄在

[55, 65)

的被调查人中随机选取2人进行追踪调查，求2人中至少有1人不赞同的概率.

查看试题解析

19. 如图（1）所示， $A D$ 是 $△ B C D$ 中 $B C$ 边上的高线，且 $A B = 2 A D = 2 A C$ ，将 $△ B C D$ 沿 $A D$ 翻折，使得平面 $A C D ⊥$ 平面 $A B D$ ，如图（2）.

(1)、求证： $A B ⊥ C D$ ；

(2)、图（2）中， $E$ 是 $B D$ 上一点，连接 $A E$ ､ $C E$ ，当 $A E$ 与底面 $A B C$ 所成角的正切值为 $\frac{1}{2}$ 时，求直线 $A E$ 与平面 $B C E$ 所成角的正弦值.

查看试题解析
20. 已知动点 $P (x, y)$ (其中 $x \geq 0$ )到定点 $F (1, 0)$ 的距离比点 $P$ 到 $y$ 轴的距离大1.

(1)、求点 $P$ 的轨迹 $C$ 的方程；

(2)、过椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ 的右顶点作直线交曲线 $C$ 于 $A$ ､ $B$ 两点，其中 $O$ 为坐标原点
①求证： $O A ⊥ O B$ ；

②设 $O A$ ､ $O B$ 分别与椭圆相交于点 $D$ ､ $E$ ，证明：原点到直线 $D E$ 的距离为定值.

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = x^{2} + 2 a \ln x$ ， $g (x) = 2 x^{2} - 1$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若方程 $f (x) = g (x)$ 在 $[1 ， e]$ ( $e$ 为自然对数的底数)上存在唯一实数解，求实数 $a$ 的取值范围.

查看试题解析
22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $C_{1}$ 的方程为： ${\begin{array}{l} x = - 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{array}$ ( $t$ 为参数).以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} - 2 ρ \cos θ - 4 ρ \sin θ + 4 = 0$ .

(1)、求 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、设 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的交点为 $M$ ， $N$ ，求 $△ C_{2} M N$ 的面积.

查看试题解析
23. 已知 $m > n > 0$ ，函数 $f (x) = | x + \frac{1}{n (m - n)} |$ .

(1)、若 $m = 3$ ， $n = 1$ ，求不等式 $f (x) > 2$ 的解集；

(2)、求证： $f (x) \geq 4 - | x - m^{2} |$ .

查看试题解析