山东省潍坊市五县市2020-2021学年高三上学期数学阶段性监测试卷

试卷更新日期：2020-12-02 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知函数 $y = \sqrt{- x^{2} + 2 x + 3}$ 的定义域为集合M，集合N＝ ${x | 0 \leq x \leq 2}$ ，则 $M \cap N$ ＝（）

A、[﹣1，3] B、[0，2] C、[0，1] D、[﹣1，4]

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2. 平流层是指地球表面以上 $10 k m$ 到 $50 k m$ 的区域，下述不等式中， $x$ 能表示平流层高度的是（）

A、 $| x + 10 | < 50$ B、 $| x - 10 | < 50$ C、 $| x + 30 | < 20$ D、 $| x - 30 | < 20$

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3. 命题“ $\forall x \in [2 ， + \infty) ， x^{2} \geq 4$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in [2 ， + \infty) ， x^{2} < 4$ B、 $\forall x \in (- \infty ， 2) ， x^{2} \geq 4$ C、 $\exists x_{0} \in [2 ， + \infty) ， x_{0}^{2} < 4$ D、 $\exists x_{0} \in [2 ， + \infty) ， x_{0}^{2} \geq 4$

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4. 某网站为了了解某“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2019年1月至2019年11月期间该“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图．根据折线图，下列结论正确的是（）

A、月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数 B、月跑步平均里程逐月增加 C、月跑步平均里程高峰期大致在8.9月份 D、1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳

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5. 已知二次函数 $f (x) = (x - m) (x - n) + 1$ ，且 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程 $f (x) = 0$ 的两个根，则 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $m$ ， $n$ 的大小关系可能是（）

A、 $x_{1} < x_{2} < m < n$ B、 $x_{1} < m < x_{2} < n$ C、 $m < n < x_{1} < x_{2}$ D、 $m < x_{1} < x_{2} < n$

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6. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则该处的平地降雨量（盆中积水体积与盆口面积之比）为（）（台体体积公式：V_台体＝ $\frac{1}{3} (S_{1} + \sqrt{S_{1} S_{2}} + S_{2}) h$ ， $S_{1}$ ， $S_{2}$ 分别为上、下底面面积，h为台体的高，一尺等于10寸）

A、3 B、4 C、 $\frac{237}{49}$ D、 $\frac{474}{49}$

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7. 已知符号函数 $sgn (x) = {\begin{array}{l} 1 ， x > 0 \\ 0 ， x = 0 \\ - 1 ， x < 0 \end{array}$ ， $f (x) = 2 x$ ，若 $φ (x) = f (3 x) - f (x)$ ，则（）

A、 $f (x) = 2 x sgn x$ B、 $f (x) = - 2 x sgn x$ C、 $sgn [f (x)] = sgn [φ (x)]$ D、 $sgn [f (x)] = - sgn [φ (x)]$

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8. 若定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，并且满足 $f (x) < f^{'} (x) - 2$ ，则下列正确的是（）

A、 $f (2021) - e f (2020) < 2 (e - 1)$ B、 $f (2021) - e f (2020) > 2 (e - 1)$ C、 $f (2021) - e f (2020) > 2 (e + 1)$ D、 $f (2021) - e f (2020) < 2 (e + 1)$

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二、多选题

9. 若集合M＝{﹣1，1，3，5}，集合N＝{﹣3，1，5}，则正确的是（）

A、 $\forall$ x $\in$ N，x $\in$ M B、 $\exists$ x $\in$ N，x $\in$ M C、M $\cap$ N＝{1，5} D、M $\cup$ N＝{﹣3，﹣1，3}

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10. 下列不等式成立的是（）

A、若a＜b＜0，则a²＞b² B、若ab＝4，则a＋b≥4 C、若a＞b，则ac²＞bc² D、若a＞b＞0，m＞0，则 $\frac{b}{a} < \frac{b + m}{a + m}$

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11. 在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AA₁＝AB＝4，BC＝2，M，N分别为棱C₁D₁ ， CC₁的中点，则下列说法正确的是（）

A、MN∥平面A₁BD B、平面MNB截长方体所得截面的面积为 $6 \sqrt{2}$ C、直线BN与B₁M所成角为60° D、三棱锥N—A₁DM的体积为4

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{| x |}{e^{| x |}} + 1$ ， $g (x) = {\begin{array}{l} f (x) ， x \leq 0 \\ x^{2} - 2 x + a ， x > 0 \end{array}$ ，且 $g (1) = 0$ ，则关于 $x$ 的方程 $g (g (x) - t) - 1 = 0$ 实根个数的判断正确的是（）

A、当 $t < - 2$ 时，方程 $g (g (x) - t) - 1 = 0$ 没有相应实根 B、当 $- 1 + \frac{1}{e} < t < 0$ 或 $t = - 2$ 时，方程 $g (g (x) - t) - 1 = 0$ 有1个相应实根 C、当 $1 < t < 1 + \frac{1}{e}$ 时，方程 $g (g (x) - t) - 1 = 0$ 有2个相异实根 D、当 $- 1 < t < - 1 + \frac{1}{e}$ 或 $0 < t \leq 1$ 或 $t = 1 + \frac{1}{e}$ 时，方程 $g (g (x) - t) - 1 = 0$ 有4个相异实根

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三、填空题

13. 为了解某社区居民的2019年家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：

收入x（万元）

8.2

8.6

10.0

11.3

11.9

支出y（万元）

6.2

7.5

8.0

t

9.8

根据上表可得回归直线方程 $\hat{y} = 0.76 x + 0.4$ ，则t＝．

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14. 在 ${(x + \frac{2}{x^{2}})}^{5}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数是．

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15. 已知正方体的棱长为4，以该正方体的一个顶点为球心，以 $4 \sqrt{2}$ 为球的半径作球面，则该球面被正方体表面所截得的所有弧长的和为．

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四、双空题

16. 若函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 存在导数，记 $f^{'} (x)$ 的导数为 $f^{″} (x)$ ．如果对 $\forall$ x $\in$ (a，b)，都有 $f^{″} (x) < 0$ ，则 $f (x)$ 有如下性质： $f (\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n}) \geq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2}) + \dots + f (x_{n})}{n}$ ，其中n $\in N^{*}$ ， $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，…， $x_{n} \in$ (a，b)．若 $f (x) = \sin x$ ，则 $f^{″} (x)$ ＝；在锐角△ABC中，根据上述性质推断：sinA＋sinB＋sinC的最大值为．

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五、解答题

17. 已知集合 $A = {x | m - 1 \leq x \leq 2 m + 3}$ ， ▲ ．
试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，并完成解答．

①函数 $f (x) = \lg (- x^{2} + 2 x + 8)$ 的定义域为集合 $B$ ；②不等式 $\frac{8}{x - 1} < 1$ 的解集为 $B$ ．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

(1)、当 $m = 2$ 时，求 $A \cup B$ ， $(∁_{R} A) \cap B$ ；

(2)、若 $A \cap B = A$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

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18. 已知定义域为R的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) + f (- x) = 0$ ，当x＞0时， $f (x) = \log_{2} \frac{1}{x}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、解关于x的不等式： $f (- 2^{x}) + \log_{2} 3 > 0$ ．

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19. 某公园管理人员为提升服务效能，随机调查了近三个月（每个月按30天计）中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据如下表（单位：天）

锻炼人次质量等级	[0，100]	(100，200]	(200，300]
1（优）	3	13	20
2（良）	4	10	12
3（轻度污染）	6	6	8
4（中度污染）	7	1	0

若某天的空气质量等级为1或2，则称为这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称为这天“空气质量差”．

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，

P( $K^{2} \geq k$ )	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

(1)、估计该公园一天的“空气质量好”的概率；

(2)、根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．

	人次≤200	人次＞200
空气质量好
空气质量差

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20. 如图，四边形 $A B C D$ 与 $B D E F$ 均为菱形， $F A = F C$ ， $A B = 2$ ，且 $∠ D A B = ∠ D B F = 60^{\circ}$ ．

(1)、求证： $A C ⊥ B F$ ；

(2)、求二面角 $E - A F - B$ 的余弦值．

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21. 当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进. 高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施. 某地区2018年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试，三项考试满分为50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分. 某学校在初三上学期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到右边频率分布直方图，且规定计分规则如下表：

(1)、现从样本的100名学生中，任意选取2人，求两人得分之和不大于33分的概率；

(2)、若该校初三年级所有学生的跳绳个数 $X$ 服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差，已知样本方差 $S^{2} \approx 169$ （各组数据用中点值代替）. 根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个，现利用所得正态分布模型：
（ⅰ）预估全年级恰好有2000名学生时，正式测试每分钟跳182个以上的人数；（结果四舍五入到整数）

（ⅱ）若在全年级所有学生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳195个以上的人数为 $ξ$ ，求随机变量 $ξ$ 的分布列和期望. 附：若随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X < μ + σ) = 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) = 0.9544$ ， $P (μ - 3 σ < X < μ + 3 σ) = 0. 9974$ .

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22. 已知函数 $f (x) = k x + \frac{1}{x}$ ( $k \neq 0$ )， $g (x) = λ \ln x$ ( $λ \in R$ )，且函数 $f (x)$ 的图像在点(1， $f (1)$ )处的切线方程为 $2 x + y - 2 = 0$ ．

(1)、求实数k的值；

(2)、当 $λ \geq - 2$ 时，令函数 $h (x) = g (x) + f (x)$ ，求 $h (x)$ 的单调区间；

(3)、在（2）的条件下，设函数 $h (x)$ 有两个极值点为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，其中 $x_{1}$ ＜ $x_{2}$ ，试比较 $h (x_{1})$ 与 $h (x_{2})$ 的大小．

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收入x（万元）	8.2	8.6	10.0	11.3	11.9
支出y（万元）	6.2	7.5	8.0	t	9.8