山东省潍坊高密市等三县市2020-2021届高三上学期数学10月过程性检测试卷

试卷更新日期：2020-12-02 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | 1 \leq x \leq 3}$ ， $B = {x | 2 < x < 4}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap B =$ （）

A、 ${x | 3 < x < 4}$ B、 ${x | 3 \leq x < 4}$ C、 ${x | x < 1 或 x \geq 4}$ D、 ${x | 1 \leq x < 4}$

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2. “ $x < 1$ ”是“ $x^{2} + 2 x - 3 < 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 2020年初，我国向相关国家派出了由医疗专家组成的医疗小组．现有四个医疗小组和4个需要援助的国家，每个医疗小组只去一个国家，且4个医疗小组去的国家各不相同，则不同的分配方法有（）

A、64种 B、48种 C、24种 D、12种

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4. 算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如，在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65，若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨上一颗下珠，再随机选择两个档位各拨一颗上珠，则所拨数字小于600的概率为（）

A、 $\frac{3}{8}$ B、 $\frac{5}{24}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{7}{24}$

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5. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 3^{- x} + 1 (x \leq 0), \\ \log_{a} x + 2 (x > 0), \end{array}$ 若 $f (f (- 1)) = 6$ ，那么实数 $a$ 的值是（）

A、4 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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6. ${(2 x - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中常数项为（）

A、-160 B、160 C、80 D、-80

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7. 已知函数f (x)的图象如图所示，则f (x)的解析式可以是（）

A、f (x)＝ $\frac{\ln | x ∣}{x}$ B、f (x)＝ $\frac{e^{x}}{x}$ C、f (x)＝ $\frac{1}{x^{2}}$ －1 D、f (x)＝x－ $\frac{1}{x}$

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8. 如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面 $C D D_{1} C_{1}$ 上有一个小孔 $E$ ， $E$ 点到 $C D$ 的距离为3，若该正方体水槽绕 $C D$ 倾斜（ $C D$ 始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面 $C D D_{1} C_{1}$ 与桌面所成角的正切值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、2

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9. 函数 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，且 $f (x) = f (x + 4)$ ，当 $x \in [0 ， 2]$ 时， $f (x) = {\begin{array}{l} x ， x \in [0 ， 1] \\ 2 - x ， x \in (1 ， 2] \end{array}$ ， $g (x) = f (x + 1)$ ．则下列四个判断正确的是（）

A、函数 $y = g (x) + f (x)$ 的最小值为 $- 1$ B、函数 $y = g (x) + f (x)$ 的图像关于 $x = 2$ 对称 C、对于任意的正整数 $n$ ， $\sum_{i = 1}^{n} f (\frac{4 i}{n}) = 0$ D、对于任意的正整数 $n$ ，存在 $k \in R (k \neq 1)$ ，使得 $\sum_{i = 1}^{n} g (k \frac{4 i}{n}) f (\frac{4 i}{n}) = 0$ 成立

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二、多选题

10. 随着2022年北京冬奥会临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，将引领户外用品行业市场增长．下面是2012年至2018年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率的统计图，则下面结论中正确的是（）

A、2013年至2018年，中国雪场滑雪人次的同比增长率逐年增加 B、2013年至2018年，中国雪场滑雪人次逐年增加 C、2013年与2018年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，所以同比增长人数也近似相等 D、2012年到2018年，中国雪场滑雪人次增长率约为146.2%

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11. 从甲袋中摸出一个红球的概率是 $\frac{1}{3}$ ，从乙袋中摸出一个红球的概率是 $\frac{1}{2}$ ，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（）

A、2个球都是红球的概率为 $\frac{1}{6}$ B、2个球不都是红球的概率为 $\frac{1}{3}$ C、至少有1个红球的概率为 $\frac{2}{3}$ D、2个球中恰有1个红球的概率为 $\frac{1}{2}$

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12. 已知正实数 $x$ ， $y$ 满足 $\log_{2} x + \log_{\frac{1}{2}} y < {(\frac{1}{2})}^{x} - {(\frac{1}{2})}^{y}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\frac{1}{x} < \frac{1}{y}$ B、 $x^{3} < y^{3}$ C、 $\ln (y - x + 1) > 0$ D、 $2^{x - y} < \frac{1}{2}$

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三、填空题

13. 设随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (1, σ^{2})$ ，若 $P (ξ < 2) = 0.8$ ，则 $P (0 < ξ < 2) =$ ．

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14. 函数 $y = | x + 1 | + | x - 2 |$ 的值域为．

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15. 候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙．研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度 $v$ （单位： $m/s$ ）与其耗氧量 $Q$ 之间的关系为 $v = a + \log_{2} \frac{Q}{10}$ （其中 $a$ 是实数）．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为20个单位，若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于 $2 m/s$ ，其耗氧量至少需要个单位．

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四、双空题

16. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1， $E$ ， $F$ 分别为 $B C$ ， $C C_{1}$ 的中点．则平面 $A E F$ 截正方体所得的截面面积为；以点 $E$ 为球心，以 $\frac{\sqrt{10}}{4}$ 为半径的球面与对角面 $A C C_{1} A_{1}$ 的交线长为．

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五、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \frac{x + a}{x - 1}$ （ $a$ 为常数），其中 $f (x) < 0$ 的解集为 $(- 3, 1)$ ．

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、设 $g (x) = x + f (x)$ ，当 $x (x > 1)$ 为何值时， $g (x)$ 取得最小值，并求出其最小值．

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18. 已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的边长均为 $2 \sqrt{3}$ ， $E$ ， $F$ 分别是线段 $A C_{1}$ 和 $B B_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $E F //$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求三棱锥 $C - A B E$ 的体积．

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19. 已知函数 $f (x) = a (x - 1) + \ln x (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = - 1$ 时，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、设 $F (x) = f (x + 1)$ ，若 $F (x) < 0$ 对 $x \in [1 ， + \infty)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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20. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $B C // A D$ ， $∠ A D C = 90 °$ ， $B C = C D = \frac{1}{2} A D = 1$ ， $E$ 为线段 $A D$ 的中点，过 $B E$ 的平面与线段 $P D$ ， $P C$ 分别交于点 $G$ ， $F$ ．

(1)、求证： $G F ⊥ P A$ ；

(2)、若 $P A = P D = \sqrt{2}$ ，是否存在点 $G$ ，使得直线 $P B$ 与平面 $B E G F$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ ，若存在，请确定 $G$ 点的位置；若不存在，请说明理由．

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21. 目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐．在党中央的正确领导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，我国的“新冠肺炎”疫情在今年二月份已得到控制．甲、乙两个地区采取防护措施后，统计了从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数，绘制成如下图所示的折线图：

(1)、根据图中甲、乙两个地区折线图的信息，分别从均值与方差的角度比较甲乙两地新增确诊人数的统计结论（不用计算数据，给出判断即可）；

(2)、治疗“新冠肺炎”药品的研发成了当务之急，某药企计划对甲地区的 $A$ 项目或乙地区的 $B$ 项目投入研发资金．经过评估，对于 $A$ 项目，每投资十万元，一年后利润是1.38万元，1.17万元，1.16万元的概率分别为 $\frac{1}{6}$ ， $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{2}$ ；对于 $B$ 项目，产品价格在一年内需进行2次独立的调整，每次价格调整中，产品价格下调的概率都是 $p (0 < p < 1)$ ，且产品价格的下调次数为0，1，2时，每投资十万元，一年后相应利润是1.4万元，1.25万元，0.6万元．对 $A$ 项目投资十万元，一年后利润的随机变量记为 $ξ_{1}$ ，对 $B$ 项目投资十万元，一年后利润的随机变量记为 $ξ_{2}$ ．
（ⅰ）求 $ξ_{1}$ ， $ξ_{2}$ 的分布列和数学期望 $E ξ_{1}$ ， $E ξ_{2}$ ；

（ⅱ）如果你是该企业投资决策者，将做出怎样的决策？请写出决策理由．

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} + x \ln a (a > 0)$ ， $x \in (0 ， 1)$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x) > a e^{x} \ln x$ 对 $\forall x \in (0 ， 1)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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