山东省2021届高三上学期数学第一次质量监测联考试卷

试卷更新日期：2020-12-02 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 集合 $M = {x | y = \sqrt{5 - x^{2}}}$ ， $N = {y \in N | y = \sqrt{5 - x^{2}}}$ .则 $M \cap N =$ （）.

A、 ${x | 0 \leq x \leq 2}$ B、 ${x | 0 \leq x \leq \sqrt{5}}$ C、 ${1 ， 2}$ D、 ${0 ， 1 ， 2}$

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2. 已知复数 $z = \frac{2 + 3 i}{2 - 3 i}$ ，则在复平面内，复数 $z$ 所对应的点位于（）.

A、第一条限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， - 1)$ ， $\vec{b} = (- 3 ， 2)$ ， $c = (1 ， m)$ ，若 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ ，则 $| \vec{c} | =$ （）.

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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4. 函数 $f (x) = (e^{2 x} + e^{- 2 x}) \ln | x |$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知正实数 $a$ ， $b$ 满足 $a + b = 2$ ，则 $\sqrt{a + 1} + \sqrt{b + 1}$ 的最大值为（）.

A、 $2 \sqrt{2}$ B、4 C、 $4 \sqrt{2}$ D、16

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6. 若将函数 $f (x) = \cos (ω x + \frac{π}{3}) (0 < ω < 50)$ 的图像向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后所得图像关于坐标原点对称，则满足条件的 $ω$ 的所有值的和 $M =$ （）

A、175 B、225 C、200 D、250

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7. 已知四边形 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $P$ 为平面 $A B C D$ 内一点，则 $(\vec{P A} + \vec{P B}) \cdot (\vec{P C} + \vec{P D})$ 的最小值为（）.

A、-1 B、-2 C、-4 D、-6

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8. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (x - 1)$ 是奇函数， $f (x + 1)$ 为偶函数，当 $- 1 \leq x \leq 1$ ， $f (x) = \frac{3^{x + 1} - 1}{3^{x} + 1}$ ，则以下各项中最小的是（）.

A、 $f (2018)$ B、 $f (2019)$ C、 $f (2020)$ D、 $f (2021)$

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二、多选题

9. 下列命题为真命题的是（）.

A、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{b} > \frac{1}{a}$ B、若 $a > b > 0$ ， $c < d < 0$ ，则 $\frac{a}{d} < \frac{b}{c}$ C、若 $a > b > 0$ ，且 $c < 0$ ，则 $\frac{c}{a^{2}} > \frac{c}{b^{2}}$ D、若 $a > b$ ，且 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ ，则 $a b < 0$

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10. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < π)$ 的最小正周期为 $\frac{2 π}{3}$ ，且 $f (\frac{π}{4} + x) = f (\frac{π}{4} - x)$ ，则 $φ$ 的值可以为（）

A、 $- \frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $- \frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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11. 已知复数 $z$ 满足 $z^{2} + 2 | z | = 0$ ，则 $z$ 可能为（）.

A、0 B、-2 C、 $2 i$ D、 $- 2 i+1$

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12. 当 $x > 1$ 时， $(4 k - 1 - \ln x) x < \ln x - x + 3$ 恒成立，则整数 $k$ 的取值可以是（）.

A、-2 B、-1 C、0 D、1

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三、填空题

13. 设等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + a_{3} = 2$ ， $a_{2} + a_{4} = 4$ ，则 $a_{5} =$ .

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14. 设集合 $A = {x | \sqrt{x} < 4}$ ， $B = {x | (x - a) (x - 1) < 0}$ ，且A⊆B，则a的取值范围是.

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15. $\cos \frac{8 π}{7} \cdot \cos \frac{16 π}{7} \cdot \cos \frac{32 π}{7} =$ .

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16. 在 $△ A B C$ 中，已知 $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ C A B = 15 °$ ， $D$ 为 $A B$ 上一点，且 $∠ A D C = 105 °$ ， $O$ 为边 $A B$ 的中点，且 $O D = 2$ ，则该三角形外接圆的半径为.

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四、解答题

17. 在① $f (x)$ 的一个极值点为0，②若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线与直线 $x + (e - 1) y - 1 = 0$ 垂直，③ $f (- x) - f^{'} (x)$ 为奇函数这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并回答下列问题．
已知函数 $f (x) = e^{x} + a x - 1$ ，且，求 $f (x)$ 在 $[- 1 ， 1]$ 上的最大值与最小值．

注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．

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18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{n} = n^{2} + n + m$ .

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、已知 $b_{n} = \frac{1}{S_{n}} + 2^{a_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 在 $△ A B C$ 中， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{8} A C \cdot B C \cdot \sin A$ .

(1)、求 $\frac{\sin A}{\sin C}$ ；

(2)、若 $D$ 是边 $A C$ 上的点，且 $A B = A D$ ， $B C = 2 B D$ .求 $\sin C$ 的值.

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20. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示.

(1)、求 $A$ ， $ω$ ， $φ$ 的值；

(2)、先将函数 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度后，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，若函数 $h (x) = f (x) + g (x)$ 在 $[0 ， m]$ 上单调递增，求 $m$ 的取值范围.

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21. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对应边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $b \cos C + c \cos B = 1$ .

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、若 $1 \leq c \leq b \leq \sqrt{3}$ ，求 $A$ 的最小值.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{a \ln x}{x} + x$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，判断 $f (x)$ 的单调性，并求 $f (x)$ 在 $[\frac{1}{e} ， e]$ 上的最值；

(2)、 $\exists x_{0} \in (0 ， e]$ ， $f (x_{0}) \leq a + 2$ ，求a的取值范围．

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