江西省赣州市会昌县七校2021届高三上学期理数联合月考试卷

试卷更新日期：2020-12-01 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 若复数满足 $(2 + i) z = 5$ ，则在复平面内与复数 $z$ 对应的点Z位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知集合 $A = {x | \log_{4} x < 1},$ $B = {x | e^{x - 2} \leq 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- \infty, 2)$ B、 $(- \infty, 2]$ C、 $(0, 2)$ D、 $(0, 2]$

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3. “ $θ$ 为第一或第四象限角”是“ $\cos θ > 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{1} + a_{2} + a_{3} = 36$ ， $a_{11} + a_{12} + a_{13} = 84$ ，则 $a_{5} + a_{9} =$ （）

A、30 B、35 C、40 D、45

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5. 若 ${(3 \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（）

A、－540 B、－162 C、162 D、540

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6. 函数 $f (x) = \ln | x | + \frac{1}{x^{2} - 1}$ 的图像大致是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $B C$ 的中点， $F$ 为 $D E$ 的中点，若 $\vec{A F} = x \vec{A B} + y \vec{A D}$ ，则 $x ，$ $y$ 是（）

A、 $\frac{3}{4} ，$ $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{2}{3} ，$ $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2} ，$ $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{2}{3} ，$ $\frac{1}{2}$

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8. 双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0,$ $b > 0$ ）的渐近线与圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x + \frac{1}{5} = 0$ 相切，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{\sqrt{17}}{2}$

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9. 生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”. 为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须相邻安排的概率为（）

A、 $\frac{7}{10}$ B、 $\frac{7}{60}$ C、 $\frac{27}{60}$ D、 $\frac{47}{60}$

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10. 点 $A$ ， $B$ ， $C$ 在球 $O$ 表面上， $A B = 2$ ， $B C = 4$ ， $∠ A B C = 60 °$ ，若球心 $O$ 到截面 $A B C$ 的距离为 $2 \sqrt{2}$ ，则该球的体积为（）

A、 $\frac{32}{3} π$ B、 $8 \sqrt{6} π$ C、 $36 π$ D、 $32 \sqrt{3} π$

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11. 已知 $O$ 为坐标原点，抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x$ 上一点 $A$ 到焦点 $F$ 的距离为 $4$ ，若点 $M$ 为抛物线 $C$ 准线上的动点，给出以下命题：
①当 $△ M A F$ 为正三角形时， $p$ 的值为2；②存在 $M$ 点，使得 $\vec{M A} - \vec{M F} = \vec{0}$ ；③若 $\vec{M F} = 3 \vec{F A}$ ，则 $p$ 等于3；④ $| O M | + | M A |$ 的最小值为 $2 \sqrt{13}$ ，则 $p$ 等于 $4$ 或 $12$ .

其中正确的是（）

A、①③④ B、②③ C、①③ D、②③④

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12. 已知实数 $a ，$ $b$ 满足 ${(a + 2)}^{2} + {(b - 3)}^{2} = 2$ ，则对任意的正实数 $x$ ， ${(x - a)}^{2} + {(\ln x - b)}^{2}$ 的最小值为（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、8 C、 $2 \sqrt{2}$ D、18

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二、填空题

13. $f (x) = e^{x - 1} + 2 \sqrt{x}$ 的图像在 $x = 1$ 处的切线方程为．

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14. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y \geq 4 \\ x - y \geq 0 \\ x \leq 4 \end{array}$ ，则 $\sqrt{{(x + 1)}^{2} + y^{2}}$ 的最小值为.

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15. 在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A,$ $B,$ $C$ 的对边分别为 $a,$ $b,$ $c$ ， $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，若 $4 S = b^{2} + c^{2} - a^{2}$ ， $b = \sqrt{6}$ ， $2 \cos^{2} B + \cos 2 B = 0$ ，则 $△ A B C$ 的面积 $S$ 为．

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16. 已知等边 $△ A B C$ 的边长为2，过点 $A$ 的直线 $l$ 与过 $B C$ 的平面 $α$ 交于点 $D$ ，将平面 $α$ 绕 $B C$ 转动（不与平面 $A B C$ 重合），且三条直线 $l$ ， $A B$ ， $A C$ 与平面 $α$ 所成的角始终相等．当三棱锥 $A - B C D$ 体积最大时，直线 $l$ 与平面 $α$ 所成角的正弦值为．

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ ，向量 $\vec{m} = (\cos x + \sin x ， 2 \sqrt{3} \sin x)$ ， $\vec{n} = (\sin x - \cos x ， \cos x)$ ，在锐角 $△ A B C$ 中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $f (A) = 1$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、求 $f (B - \frac{π}{12})$ 的取值范围．

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18. 如图，四棱锥 $S - A B C D$ 满足 $S A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是正方形， $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ， $S A = A B = 4$ ，侧棱 $S C$ 上有一点 $E$ 满足 $S E = 3 E C$ ．

(1)、证明： $O E ⊥$ 平面 $S D B$ ；

(2)、求二面角 $E - B D - C$ 的余弦值．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ 且 $a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} = a_{n + 1} - 1$ ．数列 ${b_{n}}$ 中， $b_{1} = 1$ 且 $b_{n} = \frac{n}{n - 1} b_{n - 1}$ （ $n > 1,$ $n \in N^{*}$ ）．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = a_{n} \cdot b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，并求使得 $T_{n} \geq \frac{1}{6} (m^{2} - 5 m)$ 恒成立的最大正整数 $m$ 的值．

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20. 《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为 $3 %$ 、 $7 %$ 、 $16 %$ 、 $24 %$ 、 $24 %$ 、 $16 %$ 、 $7 %$ 、 $3 %$ ．选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到 $[91,100]$ 、 $[81,90]$ 、 $[71,80]$ 、 $[61,70]$ 、 $[51,60]$ 、 $[41,50]$ 、 $[31,40]$ 、 $[21,30]$ 八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布 $N (60, 169)$ ．

(1)、求物理原始成绩在区间 $(47, 86)$ 的人数；

(2)、按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X表示这3人中等级成绩在区间 $[61, 80]$ 的人数，求X的分布列和数学期望．
（附：若随机变量 $ξ ~ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < ξ < μ + σ) = 0.682$ ， $P (μ - 2 σ < ξ < μ + 2 σ) = 0.954$ ， $P (μ - 3 σ < ξ < μ + 3 σ) = 0.997$ ）

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21. 已知椭圆 $C : \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为 $2 \sqrt{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过点 $S (- \frac{1}{3}, 0)$ 的动直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $A$ 、 $B$ 两点，试问：在 $x$ 轴上是否存在一个定点 $T$ ，使得无论直线 $l$ 如何转动，以 $A B$ 为直径的圆恒过点 $T$ ？若存在，求出点 $T$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + b x - \ln x$ ．

(1)、当 $a = - 2$ 时，函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上是减函数，求b的取值范围；

(2)、若方程 $f (x) = 0$ 的两个根分别为 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，求证： $f^{'} (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) > 0$ .

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