湖南省永州市2020-2021学年高三上学期数学第一次模拟试卷

试卷更新日期：2020-12-01 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知全集 $U = R$ ，集合 $M = {x | 2^{x} \geq 1}, N = {x | x \leq 3}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $(- \infty, 3]$ B、 $[0, 1]$ C、 $[0, 3]$ D、 $[1, 3]$

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2. 设 $z = \frac{1 - i}{1 + i}$ ，则 $| z |$ =（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、1

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3. 已知向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} = (1, m)$ ， $\vec{b} = (2, - 1)$ ，且 $(2 \vec{a} + \vec{b}) // \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、-2 B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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4. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的渐近线方程为 $y = \pm x$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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5. 某县政府为了加大对一贫困村的扶贫力度，研究决定将6名优秀干部安排到该村进行督导巡视，周一至周四这四天各安排1名，周五安排2名，则不同的安排方法共有（）

A、320种 B、360种 C、370种 D、390种

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6. 苏格兰数学家科林麦克劳林(Colin Maclaurin)研究出了著名的Maclaurin级数展开式，受到了世界上顶尖数学家的广泛认可，下面是麦克劳林建立的其中一个公式： $\ln (1 + x) = x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4} + \dots + {(- 1)}^{n - 1} \frac{x^{n}}{n} + \dots$ ，试根据此公式估计下面代数式 $\sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{3} + \frac{4 \sqrt{2}}{5} - \frac{4}{3} + \dots + {(- 1)}^{n - 1} \frac{{(\sqrt{2})}^{n}}{n} + \dots (n \geq 5)$ 的近似值为（）（可能用到数值 $\ln 2.414 = 0.881, \ln 3.414 = 1.23$ ）

A、2.788 B、2.881 C、2.886 D、2.902

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7. 在四面体 $S - A B C$ 中， $S A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ A B C = 90^{°} ， S A = A C = \sqrt{2} ， A B = 1$ ，则该四面体的外接球的表面积为（）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{4 π}{3}$ C、 $4 π$ D、 $5 π$

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8. 已知 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = \log_{2} (x + 1) + x^{2}$ ，则不等式 $f (x + 1) > - 2$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, - 1)$ B、 $(- \infty, - 2)$ C、 $(- 1, + \infty)$ D、 $(- 2, + \infty)$

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二、多选题

9. 2020年新型冠状病毒肺炎疫情对消费饮食行业造成了很大影响，为了解A，B两家大型餐饮店受影响的程度，现统计了2020年2月到7月A，B两店每月营业额，得到如图所示的折线图，根据营业额折线图可知，下列说法正确的是（）

A、A店营业额的平均值超过B店营业额的平均值 B、A店营业额在6月份达到最大值 C、A店营业额的极差比B店营业额的极差小 D、A店5月份的营业额比B店5月份的营业额小

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10. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则下列关系中正确的是（）

A、 $\frac{\lg a + \lg b}{\sqrt{\lg a \cdot \lg b}} \geq 2$ B、若 $a + b = 2$ ，则 $\sqrt{a} + \sqrt{b} \leq \sqrt{2}$ C、若 $a > b > k > 1$ ，则 $a^{b} > k^{b}$ D、若 $a b = 1$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 2$

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11. 若函数 $f (x) = \cos (ω x - φ)$ $(ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的两相邻对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，且 $x = - \frac{π}{6}$ 时 $f (x)$ 有最大值，则下列结论成立的是（）

A、 $f (\frac{π}{12}) = 0$ B、函数 $f (x)$ 的一个单调递减区间为 $[\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$ C、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{3} ， 0)$ 对称 D、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{2 π}{3}$ 对称

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12. 已知 $O$ 为坐标原点，椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$ ，长轴长为 $2 \sqrt{2}$ ，焦距为 $2 c$ ，点 $P$ 在椭圆 $C$ 上且满足 $| O P | = | O F_{1} | = | O F_{2} | = c$ ，直线 $P F_{2}$ 与椭圆 $C$ 交于另一个点 $Q$ ，若 $\cos ∠ F_{1} Q F_{2} = \frac{4}{5}$ ，点 $M$ 在圆 $G : x^{2} + y^{2} = \frac{8}{9}$ 上，则下列说法正确的是（）

A、椭圆 $C$ 的焦距为2 B、三角形 $M F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、圆 $G$ 在椭圆 $C$ 的内部 D、过点 $F_{2}$ 的圆 $G$ 的切线斜率为 $\pm \sqrt{2}$

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三、填空题

13. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{5} = 10$ ，则 $\lg a_{1} + \lg a_{9}$ ＝.

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14. 若 $\tan α = 1$ ，则 $\frac{\cos (α + \frac{π}{3})}{\sin (α - \frac{π}{3})}$ 的值为.

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15. 甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，两人获一等奖的概率分别为 $\frac{1}{3}$ 和 $\frac{1}{2}$ ，若两人是否获得一等奖相互独立，则这两人中恰有一人获得一等奖的概率为.

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16. 已知四棱锥 $S - A B C D$ 的底面是边长为4的正方形， $S D ⊥$ 面 $A B C D$ ，点 $M$ 、 $N$ 分别是 $A D 、 C D$ 的中点， $P$ 为 $S D$ 上一点，且 $S D = 3 P D = 3$ ， $H$ 为正方形 $A B C D$ 内一点，若 $S H$ //面 $P M N$ ，则 $S H$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 请从① $b = 6, \sin (B - \frac{π}{2}) = - \frac{\sqrt{7}}{4}$ ；② $b = 2, a + c = 4 + 2 \sqrt{3}$ 这两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决问题.
问题：在 $△ A B C$ 中，角 $A 、 B 、 C$ 所对的边分别为 $a 、 b 、 c$ ，已知 $\frac{c - a}{\sin B} = \frac{c - b}{\sin A + \sin C}$

(1)、求 $a$ ；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积.
（注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.）

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18. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = S_{n} + 1 (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $a_{n}$ ， $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， $\dots$ ， $b_{n}$ ， $a_{n + 1}$ 组成一个 $n + 2$ 项的等差数列，记其公差为 $d_{n}$ ，求数列 ${\frac{1}{d_{n}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 某市为了在全市营造“浪费可耻、节约为荣”的氛围，制定施行“光盘行动”有关政策，为进一步了解此项政策对市民的影响程度，市政府在全市随机抽取了100名市民进行调查，其中男士与女士的人数之比为

3 : 2

，男士中有10人表示政策无效，女士中有25人表示政策有效.

参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} (n = a + b + c + d)$ .

$P (K^{2} > k)$	0.15	0.1.	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k$	2.072	2.706	3.842	5.024	6.635	7.879	10.828

(1)、根据下列

2 \times 2

列联表写出

a

和

b

的值，并判断能否有

99 %

的把握认为“政策是否有效与性别有关”；

	政策有效	政策无效	总计
男生	$a$	10
女生	25	$b$
合计			100

(2)、从被调查的市民中，采取分层抽样方法抽取

10

名市民，再从这

10

名市民中任意抽取

4

名，对政策的有效性进行调研分析，设随机变量

X

表示抽取到的

4

名市民中女士的人数，求

X

的分布列及数学期望.

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20. 已知在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C ⊥ B C$ ， $A C = B C = 2 ，$ $A A_{1} = \sqrt{3}$ ，点 $O$ 、 $E$ 分别为 $A B 、 A_{1} C_{1}$ 中点.三棱柱外一点 $D$ 满足 $D O ⊥$ 平面 $A B C$ ， $D O = \sqrt{2}$ .

(1)、求证： $D E //$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ；

(2)、求二面角 $D - B C - E$ 的余弦值.

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21. 已知抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 且斜率为 $\frac{1}{2}$ 的直线与抛物线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $| A B | = 5$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $F$ 的直线 $l$ 交抛物线 $C$ 于 $D$ ， $E$ 两点.过 $D$ ， $E$ 分别作抛物线 $C$ 的切线，两切线交于点 $M$ ，若直线 $l$ 与抛物线 $C$ 的准线交于第四象限的点 $N$ ，且 $| M N | = | D E |$ ，求直线 $l$ 的方程.

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22. 已知函数 $f (x) = a e^{x} + \ln a$ ， $g (x) = \ln (x + 1) + 1$ （其中 $a$ 为常数， $e$ 是自然对数的底数）.若函数 $y = f (x) - \ln a$ 在点 $A (0 ， a)$ 处的切线为 $l_{1}$ ，函数 $y = g (x - 1) - 1$ 在点 $B (a ， 0)$ 处的切线为 $l_{2}$ .

(1)、若 $l_{1} // l_{2}$ ，求 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 的方程；

(2)、若 $f (x) > g (x)$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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