湖南省湘潭市2020-2021学年高三上学期理数第一次模拟试卷

试卷更新日期：2020-12-01 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知复数 $\frac{2 + i}{i} = a + b i (a, b \in R)$ ，则 $a + b =$ （）

A、-3 B、-1 C、1 D、3

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2. 已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$ ，且 $| \vec{a} | = 2 | \vec{b} | = 2$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、1 C、 $2 \sqrt{3}$ D、2

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3. 已知集合 $M = {x | x^{2} < 2 x + 3}, N = {x | x + 2 \geq 0}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、 ${x | 2 \leq x < 3}$ B、 ${x | x \geq - 2}$ C、 ${x | x > - 1}$ D、 ${x | - 1 < x < 2}$

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4. “ $\cos α = \frac{3}{5}$ ”是“ $\sin (2 α + \frac{π}{2}) = - \frac{7}{25}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知正四棱锥 $P - A B C D$ 的高为 $\sqrt{7}$ ，且 $A B = 2$ ，则正四棱锥 $P - A B C D$ 的侧面积为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、4 C、 $6 \sqrt{2}$ D、 $8 \sqrt{2}$

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6. 已知 $a > 0 ， b > 0$ ，且 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$ ，则 $4 a + b$ 的最小值是（）

A、2 B、6 C、3 D、9

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7. 德国心理学家艾宾浩斯（H．Ebbinghaus）研究发现，遗忘在学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的．最初遗忘速度很快，以后逐渐减慢．他认为“保持和遗忘是时间的函数”他用无意义音节（由若干音节字母组成、能够读出、但无内容意义即不是词的音节）作为记忆材料．用节省法计算保持和遗忘的数量，并根据他的实验结果绘成描述遗忘进程的曲线，即著名的艾宾浩斯记忆遗忘曲线（如图所示）．若一名学生背了100个英语单词，一天后，该学生在这100个英语单词中随机听写2个英语单词，以频率代替概率，不考虑其他因素，则该学生恰有1个单词不会的概率大约为（）

A、0.43 B、0.38 C、0.26 D、0.15

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8. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2} + 2 a x$ 有两个极值点，则a的取值范围是（）

A、 $(e ， + \infty)$ B、 $(\frac{e}{2} ， + \infty)$ C、 $(e^{2} ， + \infty)$ D、 $(\frac{e^{2}}{2} ， + \infty)$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， + \infty)$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x + 3$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $| f (x) | \geq 2$ B、当 $x < 0$ 时， $f (x) = - x^{2} - 2 x - 3$ C、 $x = 1$ 是 $f (x)$ 图象的一条对称轴 D、 $f (x)$ 在 $(- \infty ， - 1)$ 上单调递增

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10. 某工厂组织员工进行专业技能比赛，下图是7位评委对甲、乙两位员工评分（满分10分）的雷达图．根据图中信息，下列说法正确的是（）

A、甲得分的中位数大于乙得分的中位数 B、甲得分的众数大于乙得分的众数 C、甲得分的平均数与乙得分的平均数相等 D、甲得分的极差小于乙得分的极差

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11. 设F是抛物线C： $y^{2} = 4 x$ 的焦点，直线l过点F，且与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（）

A、 $| A B | \geq 4$ B、 $| O A | + | O B | > 8$ C、若点 $P (2 ， 2)$ ，则 $| P A | + | A F |$ 的最小值是3 D、 $△ O A B$ 的面积的最小值是2

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12. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 4$ ，E，F分别为 $B B_{1} ， C D$ 的中点，P是 $B C_{1}$ 上的动点，则（）

A、 $A_{1} F ⊥$ 平面 $A D_{1} E$ B、平面 $A D_{1} E$ 截正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的截面面积为18 C、三棱锥 $P - A D_{1} E$ 的体积与P点的位置有关 D、过 $A E$ 作正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的外接球的截面，所得截面圆的面积的最小值为 $5 π$

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x + 1, x \leq 0 \\ \log_{3} x, x > 0 \end{array}$ ，则 $f (f (- 8)) =$ ．

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14. 在 ${(x - 2)}^{6}$ 的展开式中，含 $x^{4}$ 项的系数为．

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15. 若函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的图象在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 内恰有一条对称轴，则 $ω$ 的最小值是．

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16. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为F，过点F的直线l： $y = \sqrt{3} (x - 2 a)$ 与双曲线C的右支交于点A，且与y轴交于点B．若 $△ O B F$ 的面积为 $8 \sqrt{3}$ ，其中，O为坐标原点，则 $\frac{| A F |}{| B F |} =$ ．

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17. 在① $2 \sin C \cos A = \sqrt{2}$ ，② $a \tan A = 2 \sqrt{2}$ ，③ $c \cos A = 2 \sqrt{6}$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求 $△ A B C$ 的面积．
问题：在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $a = 4, C = \frac{π}{3}$ ，？

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四、解答题

18. 甲、乙是两名射击运动员，根据历史统计数据，甲一次射击命中 $10$ 、 $9$ 、 $8$ 环的概率分别为 $\frac{2}{5}$ 、 $\frac{2}{5}$ 、 $\frac{1}{5}$ ，乙一次射击命中 $10$ 、 $9$ 环的概率分别为 $\frac{1}{6}$ 、 $\frac{5}{6}$ ．一轮射击中，甲、乙各射击一次．甲、乙射击相互独立，每次射击也互不影响．

(1)、在一轮射击中，求甲命中的环数不高于乙命中的环数的概率；

(2)、记一轮射击中，甲、乙命中的环数之和为 $X$ ，求 $X$ 的分布列；

(3)、进行三轮射击，求甲、乙命中的环数之和不低于52环的概率．

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19. 在如图所示的几何体中， $△ A B C ， △ A C E ， △ B C D$ 均为等边三角形，且平面 $A C E ⊥$ 平面 $A B C$ ，平面 $B C D ⊥$ 平面 $A B C$ ．

(1)、证明： $D E / / A B$ ．

(2)、求二面角 $A - C E - B$ 的余弦值．

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20. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = \frac{1}{2}, a_{n + 1} - a_{n} + 3 a_{n + 1} a_{n} = 0$ ．

(1)、证明：数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 是等差数列；

(2)、若 $b_{n} = \frac{a_{n}}{3 n + 2}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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21. 已知点 $P (0, 1)$ 为椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上一点，且直线 $x + 2 y - 2 = 0$ 过椭圆C的一个焦点．

(1)、求椭圆C的方程．

(2)、不经过点 $P (0, 1)$ 的直线l与椭圆C相交于A，B两点，记直线 $A P, B P$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，若 $k_{1} + k_{2} = - 2$ ，直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{\ln x + 1}{e^{x}}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最大值；

(2)、当 $x \geq 1$ 时， $a x (\ln x + 1) < e^{2 x}$ 恒成立，求a的取值范围．

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