湖南省郴州市2020-2021学年高三上学期数学第一次教学质量监测试卷

试卷更新日期：2020-12-01 类型：月考试卷

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知全集 $U = R$ ，集合 $M = {x \in R | x^{2} - x < 0}$ ，集合 $N = {y \in R | y = \sin x, x \in R}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $(0, 1]$ B、 $(0, 1)$ C、 $(- 1, 0)$ D、 $\emptyset$

查看试题解析
2. 已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z$ 满足 $z (1 - i) = 1 + 2 i$ ，则复数 $z$ 在复平面上所对应点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

查看试题解析
3. 下列函数中，在 $(0, + \infty)$ 上是减函数且是偶函数的是（）

A、 $f (x) = x^{2} + 1$ B、 $f (x) = - x^{3}$ C、 $f (x) = \lg \frac{1}{| x |}$ D、 $f (x) = 2^{| x |}$

查看试题解析
4. 已知角 $α$ 的终边经过点 $(2, 4)$ ，则 $\cos 2 α =$ （）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\pm \frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

查看试题解析
5. “ $0 < a < 2$ ”是“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} + a x + 1 > 0$ ”成立的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
6. 《易经》是中国传统文化中的精髓.如图是易经先天八卦图，每一卦由三根线组成（“____”表示一根阳线，“_ _”表示一根阴线），现从八卦中任取两卦，这两卦的阳线数目相同的概率为（）

A、 $\frac{1}{14}$ B、 $\frac{1}{7}$ C、 $\frac{3}{14}$ D、 $\frac{3}{28}$

查看试题解析
7. 已知 $P$ 是边长为3的正方形 $A B C D$ 内（包含边界）的一点，则 $\vec{A P} \cdot \vec{A B}$ 的最大值是（）

A、6 B、3 C、9 D、8

查看试题解析
8. 若实数 $x$ ， $y$ 满足 $x | x | + y | y | = 1$ ，则点 $(x ， y)$ 到直线 $x + y = - 1$ 的距离的取值范围是（）

A、 $(0，1]$ B、 $[1 ， \sqrt{2}]$ C、 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}]$ D、 $(1 ， \sqrt{2}]$

查看试题解析

二、多选题

9. 定义：若函数 $f (x)$ 的图象经过变换 $r$ 后所得图象对应的函数的值域与 $f (x)$ 的值域相同，则称变换 $Γ$ 是 $f (x)$ 的“同值变换”，下面给出四个函数及其对应的变换 $Γ$ ，其中 $Γ$ 属于 $f (x)$ 的“同值变换”的是（）

A、 $f (x) = x^{2} - 2 x$ ， $Γ$ ：将函数 $f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称 B、 $f (x) = 2^{x} - 1$ ， $Γ$ ：将函数 $f (x)$ 的图象关于 $x$ 轴对称 C、 $f (x) = \log_{2} x$ ， $Γ$ ：将函数 $f (x)$ 的图象关于 $y = x$ 直线对称 D、 $f (x) = \cos (x + \frac{π}{3})$ ， $Γ$ ：将函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(- 2, 0)$ 对称

查看试题解析
10. 若将函数 $f (x) = \sin 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，则下列说法正确的是（）

A、 $g (x)$ 的最小周期为 $π$ B、 $g (x) = \sin (2 x + \frac{π}{6})$ C、 $x = - \frac{5 π}{12}$ 是函数 $g (x)$ 图象的一条对称轴 D、 $g (x)$ 在 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{6}]$ 上的最大值为 $\frac{1}{2}$

查看试题解析
11. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a^{2} + b^{2} = 2$ ，则下列不等式中一定成立的是（）

A、 $a b \leq 1$ B、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \leq 2$ C、 $\lg a + \lg b \leq 0$ D、 $a + b \leq 2$

查看试题解析
12. 已知函数 $y = f (x)$ 在 $R$ 上可导且 $f (0) = 1$ ，其导函数 $f^{'} (x)$ 满足 $(x + 1) [f^{'} (x) - f (x)] > 0$ ，对于函数 $g (x) = \frac{f (x)}{e^{x}}$ ，下列结论正确的是（）

A、函数 $g (x)$ 在 $(- \infty ， - 1)$ 上为增函数 B、 $x = - 1$ 是函数 $g (x)$ 的极小值点 C、函数 $g (x)$ 必有2个零点 D、 $e^{2} f (e) > e^{e} f (2)$

查看试题解析

三、填空题

13. 已知 ${(x + 2 y)}^{n}$ 展开式的二项式系数和为64，则其展开式中含 $x^{4} y^{2}$ 项的系数是.

查看试题解析
14. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} + 1 = 2 a_{n}$ ，则 $a_{n} =$ .

查看试题解析
15. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，直线 $l$ 过点 $F_{2}$ 交双曲线右支于 $P$ ， $Q$ 两点，若 $| P F_{1} | = 3 | P F_{2} |$ ， $| P Q | = 3 | P F_{2} |$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为.

查看试题解析

四、双空题

16. 四棱锥 $P - A B C D$ 各顶点都在球心为 $O$ 的球面上，且 $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为矩形， $P A = A B = 2$ ， $A D = 4$ ，则球 $O$ 的体积是；设 $E$ 、 $F$ 分别是 $P B$ 、 $B C$ 中点，则平面 $A E F$ 被球 $O$ 所截得的截面面积为.

查看试题解析

五、解答题

17. 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.
① $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = - 6$ ，② $| b + c i | = 2 \sqrt{13}$ ， $i$ 为虚数单位，③ $△ A B C$ 的面积为 $3 \sqrt{15}$

在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $b - c = 2$ ， $\cos A = - \frac{1}{4}$ ，__________.

(1)、求 $a$ ；

(2)、求 $\sin (C - \frac{π}{6})$ 的值.
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

查看试题解析
18. 已知公差不等于零的等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $S_{4} = 16$ ， $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{5}$ 成等比数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${\frac{8 n}{a_{n}^{2} a_{n + 1}^{2}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

查看试题解析
19. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A B$ 是边长为2的正三角形，底面 $A B C D$ 为菱形，且平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $E$ 为 $P D$ 上一点，满足 $\vec{P E} = \frac{1}{2} \vec{E D}$ .

(1)、证明： $A B ⊥ P C$ ；

(2)、求二面角 $P - A C - E$ 的余弦值.

查看试题解析
20. 某蔬菜种植基地有一批蔬菜需要两天内采摘完毕，天气预报显示这两天每天是否有雨相互独立，无雨的概率都为0.8.现有两种方案可以选择：
方案一：基地人员自己采摘，不额外聘请工人，需要两天完成，两天都无雨收益为2万元，只有一天有雨收益为1万元，两天都有雨收益为0.75万元.

方案二：基地额外聘请工人，只要一天就可以完成采摘.当天无雨收益为2万元，有雨收益为1万元.额外聘请工人的成本为 $a$ 万元.

问：

(1)、若不额外聘请工人，写出基地收益 $X$ 的分布列及基地的预期收益；

(2)、该基地是否应该外聘工人？请说明理由.

查看试题解析
21. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且右焦点 $F (c ， 0) (c > 0)$ 到直线 $l ： x = - \frac{a^{2}}{c}$ 的距离为3.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过点 $F$ 的直线与椭圆交于 $A$ ， $B$ 两点，线段 $A B$ 的垂直平分线分别交直线 $l$ 和 $A B$ 于点 $P$ ， $C$ ，当 $∠ P A C$ 取得最小值时，求直线 $A B$ 的方程.

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = e^{x} + a (x + 1)$ .

(1)、若 $f (x) \geq 0$ ，求 $a$ 的取值范围；

(2)、证明∶ $\sum_{k = 1}^{n} e^{\frac{1}{k}} > n + \ln (n + 1)$ .

查看试题解析