湖北省六校2020-2021学年高三上学期数学10月联考试卷

试卷更新日期：2020-12-01 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设 $U = R$ ，集合 $A = {x | \frac{x}{x - 1} > 0}$ ， $B = {x | - 1 < x < 1}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap B =$ （）

A、 $(0, 1]$ B、 $[0, 1)$ C、 $(0, 1)$ D、 $[0, 1]$

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2. 函数 $f (x) = \sqrt{3 x - 1} + \frac{1}{\ln (2 - x)}$ 的定义域为（）

A、 $[\frac{1}{3}, 1) \cup (1, + \infty)$ B、 $[\frac{1}{3}, 2)$ C、 $[\frac{1}{3}, 1) \cup (1, 2)$ D、 $(0, 2)$

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3. 在 $△ A B C$ 中，已知 $A = 45 °$ ， $B = 30 °$ ， $c = \sqrt{2}$ ，则 $a =$ （）

A、 $\sqrt{6} + \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3} - 1$ D、 $\sqrt{3} + 1$

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4. 若 $\exists x \in [- 1, 2]$ ，使得不等式 $x^{2} - 2 x + a < 0$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $a < - 3$ B、 $a < 0$ C、 $a < 1$ D、 $a > - 3$

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5. “开车不喝酒，喝酒不开车．”近日，公安部交通管理局下发《关于2019年治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表．经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图，且图表所示的函数模型 $f (x) = {\begin{array}{l} 40 \sin (\frac{π}{3} x) + 13 ， 0 \leq x < 2 \\ 90 \cdot e^{- 0.5 x} + 14 ， x \geq 2 \end{array}$ ，则该人喝一瓶啤酒后至少经过（）小时才可以驾车？（参考数据： $\ln 15 \approx 2.71 ， \ln 30 \approx 3.40$ ）
车辆驾驶人员血液酒精含量阈值

驾驶行为类别

阈值（ $mg / 100 mL$ ）

饮酒后驾车

$\geq 20 ， < 80$

醉酒后驾车

$\geq 80$

A、5 B、6 C、7 D、8

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6. 已知函数 $f (x) = x^{3} - p x^{2} - q x$ 的图像与x轴切于点 $(1 ， 0)$ ，则 $f (x)$ 的极值为（）

A、极大值为 $\frac{4}{27}$ ，极小值为0 B、极大值为0，极小值为 $- \frac{4}{27}$ C、极小值为 $- \frac{5}{27}$ ，极大值为0 D、极小值为0，极大值为 $\frac{5}{27}$

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $B C = 4$ ， $\vec{B A} \cdot \vec{B C} = 4$ ，点 $P$ 为边 $B C$ 上的一动点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P C}$ 的最小值为（）

A、0 B、-2 C、 $- \frac{9}{4}$ D、-3

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8. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{6}) + \cos ω x (ω > 0)$ 在 $[0 ， π]$ 内有且仅有3个零点，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{8}{3} ， \frac{11}{3})$ B、 $(\frac{8}{3} ， \frac{11}{3}]$ C、 $(\frac{10}{3} ， \frac{13}{3}]$ D、 $[\frac{10}{3} ， \frac{13}{3})$

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二、多选题

9. 若函数 $y = a^{x} + b - 1$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）的图像不经过第二象限，则需同时满足（）

A、 $a > 1$ B、 $0 < a < 1$ C、 $b > 0$ D、 $b \leq 0$

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10. 下列函数中，最小值是4的函数有（）

A、 $f (x) = x^{2} + \frac{4}{x^{2}}$ B、 $f (x) = \cos x + \frac{4}{\cos x} (0 \leq x < \frac{π}{2})$ C、 $f (x) = \frac{x^{2} + 5}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ D、 $f (x) = 3^{x} + \frac{4}{3^{x}}$

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} k x + 1 ， x \leq 0 \\ \log_{2} x ， x > 0 \end{array}$ ，下列是关于函数 $y = f [f (x)] + 1$ 的零点个数的判断，其中正确的是（）

A、当 $k > 0$ 时，有3个零点 B、当 $k < 0$ 时，有2个零点 C、当 $k > 0$ 时，有4个零点 D、当 $k < 0$ 时，有1个零点

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12. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列 ${a_{n}}$ 称为“斐波那契数列”，记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，则下列结论正确的是（）

A、 $a_{6} = 8$ B、 $S_{9} = 54$ C、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + \dots + a_{2019} = a_{2020}$ D、 $\frac{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots \dots + a_{2019}^{2}}{a_{2019}} = a_{2020}$

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ， $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 3$ ，则 $| 3 \vec{a} + 2 \vec{b} | =$ ．

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14. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为 $m = 2 \sin 18 °$ ，若 $m^{2} + n = 4$ ，则 $\frac{1 - 2 \cos^{2} 153 °}{m \sqrt{n}} =$ ．

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15. 等差数列 ${a_{n}}$ 中， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，若 $S_{5} = 2015$ ， $S_{2015} = 5$ ，则 $S_{2020} =$ ．

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16. 若存在两个正实数 $x$ ， $y$ 使等式 $x + m (y - x) (\ln y - \ln x) = 0$ 成立，（其中 $e = 2.71828 \dots$ ）则实数 $m$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 在① $\sin B - \sin C = \sin (A - C)$ ② $\frac{\sqrt{3} c}{a \cos B} = \tan A + \tan B$ ③ $2 a \cos A = b \cos C + c \cos B$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出 $b + c$ 的最大值；若问题中的三角形不存在，请说明理由（若选择多个，则按第一个条件评分）
问题：已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a = 2$ ，_______，求 $b + c$ 的最大值

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18. 数列 ${a_{n}}$ 中， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，且 $a_{1} + \sqrt{S_{n}} = n + 1$ ．

(1)、求 $S_{n}$ ， $a_{n}$ ；

(2)、若 $b_{n} = a_{n} \cdot 2^{\sqrt{S_{n}}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的其前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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19. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E$ 为 $P D$ 的中点．

（Ⅰ）证明： $P B //$ 平面 $A E C$ ；

（Ⅱ）设 $P A = 1 ， ∠ A B C = 60^{\circ}$ ，三棱锥 $E - A C D$ 的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{8}$ ，求二面角 $D - A E - C$ 的余弦值．

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20. 已知函数 $f (x) = \log_{4} (4^{x} + 1) - m x$ 是偶函数，函数 $g (x) = \frac{4^{x} + n}{2^{x}}$ 是奇函数．

(1)、求 $m + n$ 的值；

(2)、设 $h (x) = f (x) + \frac{1}{2} x$ ，若 $g [h (x)] > h [\log_{4} (2 a + 1)]$ 对任意 $x \geq \log_{4} 3$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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21. 已知直线 $l_{1}$ 与圆 $O : x^{2} + y^{2} = 9$ 相切，动点 $M$ 到 $E (- 2, 0)$ 与 $F (2, 0)$ 两点的距离之和等于 $E$ 、 $F$ 两点到直线 $l_{1}$ 的距离之和．

(1)、求动点 $M$ 的轨迹 $C$ 的方程；

(2)、过点 $F$ 的直线 $l_{2}$ 交轨迹 $C$ 于不同两点 $A$ 、 $B$ ，交 $y$ 轴于点 $N$ ，已知 $\vec{N A} = λ_{1} \vec{A F}$ ， $\vec{N B} = λ_{2} \vec{B F}$ ，试问 $λ_{1} + λ_{2}$ 是否等于定值，并说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = a x - \ln (x + 1)$
（Ⅰ）若 $a = 1$ ，求函数 $f (x)$ 的最小值；

（Ⅱ）若函数 $f (x) > 0$ 对任意的 $x \in (0 ， + \infty)$ 恒成立，求正实数 $a$ 的最值范围；

（Ⅲ）求证： $\forall n \in N_{+}$ ， $\frac{n + 1}{\sqrt[n]{n!}} < e$ ．（ $e$ 为自然对数的底数）

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驾驶行为类别	阈值（ $mg / 100 mL$ ）
饮酒后驾车	$\geq 20 ， < 80$
醉酒后驾车	$\geq 80$