湖北省黄冈市2020-2021学年高三上学期数学9月质量检测试卷

试卷更新日期：2020-12-01 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 3 x + 2 \leq 0}, B = {x | 1 < 2^{x} < 4}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | 1 \leq x \leq 2}$ B、 ${x | 1 < x \leq 2}$ C、 ${x | 1 \leq x < 2}$ D、 ${x | 0 \leq x < 2}$

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2. 已知 $a ， b ， c ， d$ 都是常数， $a < b ， c < d$ .若 $f (x) = (x - a) (x - b) - 2020$ 的零点为 $c ， d$ ，则下列不等式正确的是（）

A、 $a < c < d < b$ B、 $c < a < b < d$ C、 $a < c < b < d$ D、 $c < d < a < b$

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3. 已知 $x = 2^{0.4}$ ， $y = \lg \frac{2}{5}$ ， $z = {(\frac{2}{5})}^{0.4}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $x < y < z$ B、 $y < z < x$ C、 $z < y < x$ D、 $z < x < y$

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4. 若实数a，b满足 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b} = \sqrt{a b}$ ，则ab的最小值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、2 $\sqrt{2}$ D、4

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5. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休. 在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数 $f (x) = \frac{(e^{x} - 1) \sin x}{e^{x} + 1}$ 在区间 $(- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ 上的图象的大致形状是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知向量 $\vec{a} = (2, 1)$ ， $\vec{b} = (0, m)$ ， $\vec{c} = (2, 4)$ ，且 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ ，则实数 $m$ 的值为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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7. 已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ， $P$ 是 $l$ 上一点， $Q$ 是直线 $P F$ 与抛物线 $C$ 的一个交点，若 $\vec{P F} = 4 \vec{F Q}$ ，则 $| Q F | =$ （）

A、3 B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$ 或 $\frac{5}{2}$

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8. 明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有 $大吕 = \sqrt{黄钟 \times 太簇}$ ， $大吕 = \sqrt[3]{{(黄钟)}^{2} \times 夹钟}$ ， $太簇 = \sqrt[3]{黄钟 \times {(夹钟)}^{2}}$ ．据此，可得正项等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{k} =$ （）

A、 $\sqrt[n - k + 1]{a_{1}^{n - k} \cdot a_{n}}$ B、 $\sqrt[n - k + 1]{a_{1} \cdot a_{n}^{n - k}}$ C、 $\sqrt[n - 1]{a_{1}^{n - k} \cdot a_{n}^{k - 1}}$ D、 $\sqrt[n - 1]{a_{1}^{k - 1} \cdot a_{n}^{n - k}}$

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二、多选题

9. 下列有关命题的说法正确的是（）

A、 $\exists x \in (0 ， π)$ ，使得 $\frac{2}{\sin x} + \sin x = 2 \sqrt{2}$ 成立 B、命题 $P ： \forall x \in R$ ，都有 $\cos x \leq 1$ ，则 $^{\neg} P ： \exists x_{0} \in R$ ，使得 $\cos x_{0} > 1$ C、函数 $f (x) = \sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x - 1}$ 与函数 $g (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ 是同一个函数 D、若 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 均为正实数，且 $3^{x} = 4^{y} = 12^{z}$ ， $\frac{x + y}{z} \in (n ， n + 1) ， (n \in N)$ ，则 $n = 4$

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10. 已知曲线 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{k - 2} + \frac{y^{2}}{6 - k} = 1 (k \in R)$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $k = 4$ 时，曲线 $C$ 为圆 B、当 $k = 0$ 时，曲线 $C$ 为双曲线，其渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{3} x$ C、“ $k > 4$ ”是“曲线 $C$ 为焦点在 $x$ 轴上的椭圆”的充分而不必要条件 D、存在实数 $k$ 使得曲线 $C$ 为双曲线，其离心率为 $\sqrt{2}$

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} | \cos x | ， \sin x \geq \cos x \\ | \sin x | ， \sin x < \cos x \end{matrix}$ 则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的值域是 $[0 ， 1]$ B、 $f (x)$ 是以 $π$ 为最小正周期的周期函数 C、 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{2} ， π]$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 在 $[0 ， 2 π)$ 上有 $2$ 个零点

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12. 一副三角板由一块有一个内角为 $60 °$ 的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示， $∠ B = ∠ F = 90 ° ，$ $∠ A = 60 ° ， ∠ D = 45 ° ， B C = D E$ ，现将两块三角形板拼接在一起，得三棱锥 $F - C A B$ ，取 $B C$ 中点 $O$ 与 $A C$ 中点 $M$ ，则下列判断中正确的是（）

A、直线 $B C ⊥$ 面 $O F M$ B、 $A C$ 与面 $O F M$ 所成的角为定值 C、设面 $A B F \cap$ 面 $M O F = l$ ，则有 $l$ ∥ $A B$ D、三棱锥 $F - C O M$ 体积为定值.

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三、填空题

13. 设函数 $f (x) = {\begin{matrix} ln x ， x \geq 1 \\ 1 - x ， x < 1 \end{matrix}$ ，若 $f (m) > 1$ ，则实数m的取值范围是．

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14. 已知各项为正数的数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1$ ， $S_{n} = {(\sqrt{S_{n - 1}} + \sqrt{a_{1}})}^{2}$ $(n \geq 2, n \in N)$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为.

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15. 若 $\frac{1 + \tan α}{1 - \tan α} = 2020$ ，则 $\frac{1}{\cos 2 α} + \tan 2 α$ =.

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16. 在三棱锥 $D - A B C$ 中， $C D ⊥$ 底面 $A B C$ ， $A C ⊥ B C$ ， $A B = B D = 5$ ， $B C = 4$ ，则此三棱锥的外接球的表面积为．

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四、解答题

17.
①在函数 $f (x) = \frac{1}{2} \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的图像向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度得到 $g (x)$ 的图像， $g (x)$ 的图像关于原点对称，

②向量 $\vec{m} = (\sqrt{3} \sin \frac{ω}{2} x ， \cos ω x) ， \vec{n} = (\frac{1}{2} \cos \frac{ω}{2} x ， \frac{1}{4}) ， ω > 0$ ， $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ ；

③函数 $f (x) = \cos \frac{ω}{2} x \sin (\frac{ω}{2} x + \frac{π}{6}) - \frac{1}{4} (ω > 0)$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.

已知_______，函数 $f (x)$ 图像的相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ .

(1)、求 $f (\frac{π}{6})$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上的单调递减区间.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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18. 如图所示， $△ A B_{1} C_{1}$ ， $△ C_{1} B_{2} C_{2}$ ， $△ C_{2} B_{3} C_{3}$ 均为边长为 $1$ 的正三角形，点 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 在线段 $A C_{3}$ 上，点 $P_{i} (i = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot 10)$ 在线段 $B_{3} C_{3}$ 上，且满足 $\vec{C_{3} P_{1}} = \vec{P_{1} P_{2}} = \vec{P_{2} P_{3}} = \dots = \vec{P_{10} B_{3}}$ ，连接 $A B_{2}$ 、 $A P_{i} (i = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， 10)$ ，设 $\vec{C_{1} A} = \vec{a}$ ， $\vec{C_{1} B_{1}} = \vec{b}$ .

(1)、试用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{A P_{1}}$ ， $\vec{A P_{2}}$ ， $\vec{A P_{3}}$ ；

(2)、求 $\sum_{i = 1}^{10} (\vec{A B_{2}} \cdot \vec{A P_{i}})$ 的值.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $n a_{n + 1} - (n + 1) a_{n} = 1 (n \in N *)$ ，且 $a_{1} = 1$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \frac{a_{n}}{2^{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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20. 若锐角 $△ B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $f (x) = \frac{x^{3}}{3} - (\sqrt{3} \sin C + \cos C) x^{2} + 3 x$ 的图像在点 $C (c ， f (c))$ 处的切线与直线 $y = x$ 垂直，求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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21. 如图，有一生态农庄的平面图是一个半圆形，其中直径长为2km，C、D两点在半圆弧上满足 $A D = B C$ ，设 $∠ C O B = θ$ ，现要在景区内铺设一条观光通道，由 $A B ， B C ， C D$ 和 $D A$ 组成.

(1)、用 $θ$ 表示观光通道的长 $l$ ，并求观光通道 $l$ 的最大值；

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22. 已知函数 $f (x) = x e^{x}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $g (x) = 2 x^{3} \ln x - (m - x) e^{\frac{m}{x} - 1}$ ，当 $x \geq e$ 时， $g (x) \geq 0$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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