湖北省部分重点中学2020-2021学年高三上学期数学10月联考试卷

试卷更新日期：2020-12-01 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知全集 $U = R$ ， $M = {x | x < - 1}$ ， $N = {x | x (x + 2) < 0}$ ，则图中阴影部分表示的集合是（）

A、 ${x | - 1 \leq x < 0}$ B、 ${x | - 1 < x < 0}$ C、 ${x | - 2 < x < - 1}$ D、 ${x | x < - 1}$

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2. 从 $2020$ 年起，北京考生的高考成绩由语文、数学、外语 $3$ 门统一高考成绩和考生选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成．等级性考试成绩位次由高到低分为 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ ，各等级人数所占比例依次为： $A$ 等级 $15 %$ ， $B$ 等级 $40 %$ ， $C$ 等级 $30 %$ ， $D$ 等级 $14 %$ ， $E$ 等级 $1 %$ ．现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取 $200$ 人作为样本，则该样本中获得 $A$ 或 $B$ 等级的学生人数为（）

A、55 B、80 C、90 D、110

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3. 已知 $A = {x | 1 \leq x \leq 2}$ ，命题“ $\forall x \in A, x^{2} - a \leq 0$ ”是真命题的一个充分不必要条件是（）

A、 $a \geq 4$ B、 $a \leq 4$ C、 $a \geq 5$ D、 $a \leq 5$

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4. 在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.则下列说法不正确的是（）

A、此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里 B、此人第六天只走了5里路 C、此人第二天走的路程比全程的 $\frac{1}{4}$ 还多1.5里 D、此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍

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5. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = 2^{| x - m |} - 1$ （ $m$ 为实数）为偶函数，记 $a = f (2^{- 3})$ ， $b = f (3^{m})$ ， $c = f (\log_{0.5} 3)$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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6. 函数 $f (x) = A \sin (ω x + \frac{π}{4}) (ω > 0)$ 的图象与 $x$ 轴交点的横坐标构成一个公差为 $\frac{π}{3}$ 的等差数列，要得到函数 $g (x) = A \cos ω x$ 的图象，只需将 $f (x)$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位 B、向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位 C、向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位 D、向右平移 $\frac{3 π}{4}$ 个单位

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7. 现有某种细胞1千个，其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律，1小时后，细胞总数约为 $\frac{1}{2}$ ×1000＋ $\frac{1}{2}$ ×1000×2＝ $\frac{3}{2}$ ×1000，2小时后，细胞总数约为 $\frac{1}{2}$ × $\frac{3}{2}$ ×1000＋ $\frac{1}{2}$ × $\frac{3}{2}$ ×1000×2＝ $\frac{9}{4}$ ×1000，问当细胞总数超过10¹⁰个时，所需时间至少为（）(参考数据：lg3≈0.477，lg2≈0.301)

A、38小时 B、39小时 C、40小时 D、41小时

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8. 若 $a > 1$ ，设函数 $f (x) = a^{x} + x - 4$ 的零点为 $m ， g (x) = \log_{a} x + x - 4$ 的零点为 $n$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{7}{2} ， + \infty)$ B、 $[1 ， + \infty)$ C、 $(4 ， + \infty)$ D、 $(\frac{9}{2} ， + \infty)$

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二、多选题

9. 如图，点P在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的面对角线 $B C_{1}$ 上运动，则下列四个结论正确的有（）

A、三棱锥 $A - D_{1} P C$ 的体积不变 B、 $A_{1} P$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成的角大小不变 C、 $D P ⊥ B C_{1}$ D、 $D B_{1} ⊥$ $A_{1} P$

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10. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左右两个顶点分别是A₁ ， A₂ ，左右两个焦点分别是F₁ ， F₂ ， P是双曲线上异于A₁ ， A₂的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的有（）

A、 $| P F_{1} | - | P F_{2} | = 2 a$ B、直线 $P A_{1}, P A_{2}$ 的斜率之积等于定值 $\frac{b^{2}}{a^{2}}$ C、使 $△ P F_{1} F_{2}$ 为等腰三角形的点 $P$ 有且仅有4个 D、焦点到渐近线的距离等于b

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11. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $B = 60 °$ ， $b = 4$ ，下列判断正确的是（）

A、若 $c = \sqrt{3}$ ，则角 $C$ 有两解 B、若 $a = \frac{9}{2}$ ，则角 $C$ 有两解 C、 $△ A B C$ 为等边三角形时周长最大 D、 $△ A B C$ 为等边三角形时面积最小

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12. 已知函数 $f (x) = \ln x$ ， $g (x) = x^{3} - 2 e x^{2} + k x (k \in R)$ ，若函数 $y = f (x) - g (x)$ 有唯一零点，则以下四个命题正确的是（）

A、 $k = e^{2} + \frac{1}{e}$ B、曲线 $y = g (x)$ 在点 $(e ， g (e))$ 处的切线与直线 $x - e y + 1 = 0$ 平行 C、函数 $y = g (x) + 2 e x^{2}$ 在 $[0 ， e]$ 上的最大值为 $2 e^{2} + 1$ D、函数 $y = g (x) - \frac{x}{e} - e^{2} x$ 在 $[0 ， 1]$ 上单调递增

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三、填空题

13. $(x + 2 y) {(x + y)}^{4}$ 的展开式中 $x^{3} y^{2}$ 的系数为.

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14. 函数 $f (x) = ln (\frac{2 x}{1 + x} + a)$ 为奇函数，则实数 $a =$ .

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15. 在 $△ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别为角 $A, B, C$ 的对边，若函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + b x^{2} + (a^{2} + c^{2} - a c) x + 1$ 有极值点，则 $∠ B$ 的范围是．

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16. 黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：当 $x = \frac{q}{p}$ ( $p, q$ 为正整数， $\frac{q}{p}$ 是既约真分数)时 $R (x) = \frac{1}{p}$ ，当 $x = 0, 1$ 或 $[0, 1]$ 上的无理数时 $R (x) = 0$ ，若函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且对任意 $x$ 都有 $f (2 - x) + f (x) = 0$ ，当 $x \in [0, 1]$ 时， $f (x) = R (x)$ ，则 $f (\lg \frac{10}{3}) - f (\frac{8}{5}) =$ .

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \log_{k} x$ （k为常数， $k > 0$ 且 $k \neq 1$ ）．

(1)、在下列条件中选择一个______使数列 ${a_{n}}$ 是等比数列，说明理由；
①数列 ${f (a_{n})}$ 是首项为2，公比为2的等比数列；

②数列 ${f (a_{n})}$ 是首项为4，公差为2的等差数列；

③数列 ${f (a_{n})}$ 是首项为2，公差为2的等差数列的前n项和构成的数列．

(2)、在（1）的条件下，当 $k = \sqrt{2}$ 时，设 $a_{n} b_{n} = \frac{2^{n + 1}}{4 n^{2} - 1}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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18. 已知函数 $f (x) = A \cos (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的图象过点 $(0 ， \frac{1}{2})$ ，最小正周期为 $\frac{2 π}{3}$ ，且最小值为－1.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式.

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{6} ， m]$ 上的取值范围是 $[- 1 ， - \frac{\sqrt{3}}{2}]$ ，求m的取值范围.

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19. 在三棱锥 $V - A B C$ 中，平面 $V A C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $△ A B C$ 和 $△ V A C$ 均是等腰直角三角形， $A B = B C$ ， $A C = C V = 2$ ， $M$ 、 $N$ 分别为 $V A$ 、 $V B$ 的中点．

(1)、求证： $A B ⊥ V C$ ；

(2)、求直线 $V B$ 与平面 $C M N$ 所成角的正弦值．

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20. 在平面直角坐标系中，椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a>b>0)过点 $(\frac{\sqrt{5}}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，离心率为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、过点K(2，0)作与x轴不重合的直线与椭圆C交于A，B两点，过A，B点作直线l：x＝ $\frac{a^{2}}{c}$ 的垂线，其中c为椭圆C的半焦距，垂足分别为A₁ ， B₁ ，试问直线AB₁与A₁B的交点是否为定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.

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21. 某中学数学竞赛培训共开设有初等代数、初等几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等代数、初等几何都要合格，且初等数论和微积分初步至少有一门合格，才能取得参加数学竞赛复赛的资格，现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同，（见下表），且每一门课程是否合格相互独立，

课程

初等代数

初等几何

初等数论

微积分初步

合格的概率

$\frac{3}{4}$

$\frac{2}{3}$

$\frac{2}{3}$

$\frac{1}{2}$

(1)、求甲同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率；

(2)、记 $ξ$ 表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求 $ξ$ 的分布列（只需列式无需计算）及期望 $E (ξ)$ .

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{(x^{2} + a x - a)}{e^{x}}$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 的切线方程；

(2)、求证：若 $f (x)$ 有极值，则极大值必大于0.

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课程	初等代数	初等几何	初等数论	微积分初步
合格的概率	$\frac{3}{4}$	$\frac{2}{3}$	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{2}$