湖北省百所重点中学2020-2021学年高三上学期数学10月联考试卷

试卷更新日期：2020-11-30 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x > 5$ 或 $x < 1}$ ， $B = {x | 0 < x < 4}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 ${x | 1 \leq x < 5}$ B、 ${x | 0 < x < 5}$ C、 ${x | 1 \leq x < 4}$ D、 ${x | 1 < x < 4}$

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2. 已知命题 $p : \exists x > 0$ ， $x^{2} > 2^{x}$ ，则 $\neg p$ 是（）

A、 $\forall x > 0$ ， $x^{2} > 2^{x}$ B、 $\forall x > 0$ ， $x^{2} \leq 2^{x}$ C、 $\exists x > 0$ ， $x^{2} > 2^{x}$ D、 $\exists$ x≤0， $x^{2} \leq 2^{x}$

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3. 已知 $x = {1.2}^{0.9}$ ， $y = {0.9}^{1.2}$ ， $z = \log_{1.2} 0.9$ ，则（）

A、 $x > z > y$ B、 $y > x > z$ C、 $y > z > x$ D、 $x > y > z$

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4. 若 $\sin 1000 ° = a$ ，则 $\cos 10 ° =$ （）

A、 $- a$ B、 $- \sqrt{1 - a^{2}}$ C、a D、 $\sqrt{1 - a^{2}}$

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5. 函数 $f (x) = (e^{2 x} + e^{- 2 x}) \ln | x |$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. “ $α = 2 k π (k \in Z)$ ”是“ $\sin 2 α = 2 \sin α$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、充要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 若将函数 $f (x) = \cos (ω x + \frac{π}{3}) (0 < ω < 50)$ 的图像向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后所得图像关于坐标原点对称，则满足条件的 $ω$ 的所有值的和 $M =$ （）

A、175 B、225 C、200 D、250

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8. 太阳是位于太阳系中心的恒星，其质量 $M$ 大约是 $2 \times 10^{30}$ 千克.地球是太阳系八大行星之一，其质量 $m$ 大约是 $6 \times 10^{24}$ 千克.下列各数中与 $\frac{m}{M}$ 最接近的是（）
（参考数据： $\lg 3 \approx 0.4771$ ， $\lg 6 \approx 0.7782$ ）

A、 $10^{- 5.519}$ B、 $10^{- 5.521}$ C、 $10^{- 5.525}$ D、 $10^{- 5.523}$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = x^{2} + f (0) \cdot x - f^{'} (0) \cdot \cos x + 2$ ，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，则（）

A、 $f (0) = - 1$ B、 $f^{'} (0) = 1$ C、 $f (0) = 1$ D、 $f^{'} (0) = - 1$

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10. 下列选项中，正确的有（）

A、若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 都是第一象限角，且 $x_{1} > x_{2}$ ，则 $\sin x_{1} > \sin x_{2}$ B、函数 $f (x) = \sin | x |$ 的最小正周期是 $π$ C、若 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，且最小正周期是T，则 $f (- \frac{T}{2}) = 0$ D、函数 $y = \frac{1}{2} \cos^{2} x + \sin x$ 的最小值为 $- 1$

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11. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < π)$ 的最小正周期为 $\frac{2 π}{3}$ ，且 $f (\frac{π}{4} + x) = f (\frac{π}{4} - x)$ ，则 $φ$ 的值可以为（）

A、 $- \frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $- \frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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12. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x - 6$ ，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，下列命题中为真命题的是（）

A、 $f (x)$ 的单调减区间是 $(\frac{2}{3} ， 2)$ B、 $f (x)$ 的极小值是﹣6 C、过点 $(0 ， 0)$ 只能作一条直线与 $y = f (x)$ 的图象相切 D、 $f (x)$ 有且只有一个零点

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三、填空题

13. $\tan \frac{17 π}{12} =$ ．

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14. 已知集合 $M = {x | x^{2} - 2 x - 3 = 0}$ ， $N = {1 - a, a^{2}}$ ，若 $M \cup N = {- 1, 3, 4}$ ，则 $a =$ ．

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15. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 x^{2} + x, x \geq 0 \\ e^{x} - 1, x < 0 \end{array}$ ，若 $f (2 a) > f (6 - a)$ ，则a的取值范围是．

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16. 已知函数 $f (x) = a \sin x + \sqrt{3} \cos x$ 图象的一条对称轴为直线 $x = \frac{7 π}{6}$ ，若函数 $F (x) = f (x) - \frac{7}{5}$ 在 $[- \frac{π}{2} ， \frac{7 π}{2}]$ 上的所有零点依次记为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，…， $x_{n}$ ，则 $x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n} =$ ．

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四、解答题

17. 在① $f (x)$ 的一个极值点为0，②若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线与直线 $x + (e - 1) y - 1 = 0$ 垂直，③ $f (- x) - f^{'} (x)$ 为奇函数这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并回答下列问题．
已知函数 $f (x) = e^{x} + a x - 1$ ，且，求 $f (x)$ 在 $[- 1 ， 1]$ 上的最大值与最小值．

注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．

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18. 已知二次函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) - f (x) = 2 x + 3$ ，且 $f (x)$ 的图象经过点 $A (1, - 9)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $x \in [- 2, 3]$ ，不等式 $f (x) \leq m x$ 恒成立，求实数m的取值范围．

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19. 将函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再将所得图象各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数 $g (x)$ 的图象．已知 $g (x)$ 的部分图象如图所示，且 $\vec{O M} = 4 \vec{O N}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设函数 $h (x) = \sqrt{3} f (x) + g (2 x - \frac{π}{24})$ ，求 $h (x)$ 在 $[- \frac{π}{16} ， \frac{π}{8}]$ 上的值域．

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20. 已知函数 $f (x) = \sin (2 ω x + \frac{5 π}{6}) + 2 \cos^{2} ω x (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、已知 $x_{0} \in (\frac{35 π}{48} ， \frac{41 π}{48})$ ，且 $f (x_{0}) = \frac{4 \sqrt{3}}{5} + 1$ ，求 $f (x_{0} + \frac{π}{3})$ 的值．

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21. 已知函数 $f (x) = a e^{x} + x^{2} - 1$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、当 $a = 0$ 时，判断方程 $f (x) - 4 x \ln x = 0$ 的实根个数，并说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{a \ln x}{x} + x$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，判断 $f (x)$ 的单调性，并求 $f (x)$ 在 $[\frac{1}{e} ， e]$ 上的最值；

(2)、 $\exists x_{0} \in (0 ， e]$ ， $f (x_{0}) \leq a + 2$ ，求a的取值范围．

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