河南省平顶山市2020-2021学年高三上学期理数10月阶段测试试卷

试卷更新日期：2020-11-30 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 3 x + 4 < x^{2}}$ ， $B = {x | y = \ln x}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x | - 1 < x < 0}$ B、 ${x | x > 4}$ C、 ${x | x < - 1$ 或 $x > 0}$ D、 ${x | x < - 1$ 或 $x > 4}$

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2. 已知角 $α$ 的顶点在坐标原点，始边在 $x$ 轴非负半轴上，终边与单位圆交于 $P (- \frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，则 $\sin α =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- \sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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3. 若 $\tan α = - \frac{1}{2}$ ，且 $\cos α < 0$ ，则 $\sin (\frac{π}{2} + α) =$ （）

A、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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4. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 \sin x + 2$ ，若 $f (m) = 3$ ，则 $f (- m) =$ （）

A、-3 B、-1 C、1 D、2

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5. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，则“ $\frac{a}{\cos A} = \frac{b}{\cos B} = \frac{c}{\sin C}$ ”是“ $△ A B C$ 为等腰三角形”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 设函数 $f (x)$ 在 $R$ 上可导，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，且函数 $f (x)$ 在 $x = - 3$ 处取得极大值，则函数 $y = x f^{'} (x)$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 我国古代数学家刘徽用“割圆术”将 $π$ 的值精确到小数点后七位，其结果领先世界1000多年.“割圆术”是指用圆的内接正多边形的周长来近似替代圆的周长，从正六边形起算，并依次倍增，使误差逐渐减小，如图所示，当圆的内接正多边形的边数为12时，由“割圆术”可得圆周率的近似值为（）

A、 $12 \sin 15 °$ B、 $12 \cos 15 °$ C、 $12 \sin 30 °$ D、 $6 \sin 30 °$

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8. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) = f (x)$ ，当 $x \in [1 ， 3]$ 时， $f (x) = | x - 2 | - 1$ ，若函数 $y = f (x) -$ $\log_{a} (x + 1)$ 至少有三个零点，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0 ， \frac{\sqrt{3}}{3})$ B、 $(0 ， \frac{1}{3})$ C、 $(0 ， \frac{1}{2})$ D、 $(\frac{1}{3} ， 1)$

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9. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则 $f (x)$ 的单调递增区间为（）

A、 $[2 k π - \frac{π}{3} ， 2 k π + \frac{π}{6}]$ ， $k \in Z$ B、 $[2 k π + \frac{π}{6} ， 2 k π + \frac{2}{3} π]$ ， $k \in Z$ C、 $[k π + \frac{π}{6} ， k π + \frac{2}{3} π]$ ， $k \in Z$ D、 $[k π - \frac{π}{3} ， k π + \frac{π}{6}]$ ， $k \in Z$

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10. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所対的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知 $a^{2} + b^{2} - c^{2} = \sqrt{3} a b$ ，且 $c = \sqrt{2}$ ，则 $△ A B C$ 外接圆面积为（）

A、 $π$ B、 $2π$ C、 $3π$ D、 $4π$

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11. 已知函数 $f (x)$ 为奇函数， $f (x + 1)$ 为偶函数，则下列结论错误的是（）

A、 $f (x)$ 为周期函数 B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(1 ， 0)$ 中心对称 C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - 1$ 轴对称 D、 $f (x + 4)$ 为奇函数

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12. 已知 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的偶函数，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，对于任意的 $x \in [0 ， \frac{π}{2})$ 总有 $f^{'} (x) \cos x + f (x) \sin x > 0$ 成立，则下列不等式成立的有（）

A、 $\sqrt{3} f (0) > 2 f (\frac{π}{6})$ B、 $f (\frac{π}{4}) > \sqrt{2} f (\frac{π}{3})$ C、 $\sqrt{3} f (- \frac{π}{3}) > f (\frac{π}{6})$ D、 $\sqrt{3} f (- \frac{π}{4}) < \sqrt{2} f (\frac{π}{6})$

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二、填空题

13. 函数y＝ $\sqrt{\lg (x + 2)}$ 的定义域为．

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14. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{- x} - e^{x} ， x \geq 0 \\ f (x + 2) ， x < 0 \end{array}$ ，则 $f (- 3) =$ .

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15. 已知函数 $f (x) = 2 x + \cos x$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(\frac{π}{2} ， f (\frac{π}{2}))$ 处的切线方程为.

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16. 已知函数 $f (x) = \sin ω x \cos ω x + \sin^{2} ω x - \frac{1}{2} (ω > 0)$ ，若对满足 $f (x_{1}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $f (x_{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ 的 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，有 $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值为 $\frac{π}{2}$ .若将其图象沿 $x$ 轴向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，再将得到的图象各点的横坐标伸长到原来的两倍（纵坐标不变），得到函数 $y = g (x)$ 的解析式为.

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的最小正周期为 $π$ ，且 $(- \frac{π}{6} ， 0)$ 为图象的一个对称中心，求函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3} ， 0]$ 上的值域.

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18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a \cos C + c \cos A = 2 c$ ， $D$ 为 $B C$ 边上的一点，且 $A D ⊥ A B$ ， $A D = A B$ .

(1)、求证： $b = 2 c$ ；

(2)、求 $\cos A$ 的值.

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19. 已知 $f (x)$ 为二次函数，且函数 $f (x) - 2 x$ 有两个零点1与3.

(1)、若 $f (x)$ 的图象过点 $(2 ， 1)$ ，求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求 $\frac{f (x)}{x}$ 在区间 $[1 ， 3]$ 上的最值.

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20. 佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器.生产这种机器的月固定成本为 $400$ 万元，每生产 $x$ 台，另需投入成本 $p (x)$ （万元），当月产量不足70台时， $p (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 40 x$ （万元）；当月产量不小于70台时， $p (x) = 101 x + \frac{6400}{x} - 2060$ （万元）.若每台机器售价 $100$ 万元，且该机器能全部卖完.

(1)、求月利润 $y$ （万元）关于月产量 $x$ （台）的函数关系式；

(2)、月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润.

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21. 已知函数 $f (x) = 4^{x} + n \cdot 4^{- x}$ 为奇函数， $g (x) = \log_{2} (2^{x} + 1) + m x$ 为偶函数.

(1)、求 $m n$ 的值；

(2)、若不等式 $f (x) > g (\log_{2} a) + \log_{2} \sqrt{a}$ 在区间 $[1 ， + \infty)$ 上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 函数 $f (x) = \ln (a x + 1) + \frac{2}{x + 1} (a > 0)$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 存在两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $f (x_{1}) + f (x_{2}) > 4$ ，求 $a$ 的取值范围.

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